数字信号第三版重点习题及答案.doc

判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1) (2) 解： （1） 因为ω=　π, 所以　　　, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因为ω=　　, 所以　　=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 　 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) 　　 （2）y(n)=2x(n)+3 　　 （3）y(n)=x(n－n0)　　n0为整常数 　　 （4）y(n)=x(－n) 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0)　　n0为整常数 （4）y(n)=—(－n) （5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)=　　 （8）y(n)=x(n)sin(ωn) 解： （1）令输入为x(n－n0) 则输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)=y′(n) 故该系统是非时变系统。 因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。 （2） 令输入为x(n－n0) 输出为y′(n)=2x(n－n0)+3 　　　y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 　　　T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 　　　T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。 (3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(n－n1) 输出为y′(n)=x(n－n1－n0) 　　　y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于 　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) 　　　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延时器是线性系统。 （5） y(n)=x2(n) 令输入为x(n－n0)，输出为y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。 （6） y(n)=x(n2) 令输入为x(n－n0)，输出为y′(n)=x((n－n0)2) 　　　y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 　　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) 　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。 （7）令：输入为，输出为， 因为 故该系统是时变系统。 又因为 6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 （1）； （3）； （5）。只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。 如果，，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关. 系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。 该情况在教材例1.4.1 中已求出，系统的输出为 　　　　　　　　　　y1(n)=anu(n) 令x(n)=δ(n－1)，这时系统的输出用y2(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， 任意n时， 最后得到 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系统的输出用y3(n)表示。