数学分析第1章.ppt

数学分析电子教案 重庆邮电大学数理学院 高等数学教学部 沈世云shensy@cqupt.edu.cn 四. 数学分析简介 数学分析是高等学校数理科学专业的一门专业基础课，通过本课程的教学使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，使学生的思维能力得到锻炼和提高。特别是基于强化基础、偏重一元微积分系统知识的教学，学生应能正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析中常用的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生数学基本功的训练与良好专业素质的培养起着十分重要的作用。 五. 数学分析与其它课程关系 数学分析与另外两门基础课（高等代数、解析几何）相互协调，并以其自身为主干构成现代数学各分支的共同基础。几乎所有专业课都需要该课程的支撑。其后续课程主要有实变函数、复变函数、泛函分析、点集拓扑等。它是学习常微分方程、偏微分方程、概率论、数学模型等应用性较强课程必备的直接基础，也对数值计算、数学实验、逻辑学、计算科学等学科的学习有着潜在的深远影响。 六. 课程学时与总分 课程总学时224学时，14学分， 具体分配如下： 第一学期《数学分析（1）》88学时，5.5学分 第二学期《数学分析（2）》88学时，5.5学分 第三学期《数学分析（3）》48学时，3学分 教材及参考资料 1.教材：数学分析（第三版），欧阳光中，高等教育出版社 2.参考资料 1）《数学分析讲义》（第三版），刘玉链等编,高等教育出版社,1992 2）《数学分析学习指导》（上、下册），吴良森等编，高等教育出版社，2004 3）《数学分析的思想方法》，朱匀华等编，中山大学出版社，1998 4）《吉米多维奇数学分析习题集解答》，山东科技出版社，1983 第一章 变量与函数 一. 集合与实数的性质 二、函数概念 三、函数的一些几何特性 四、小结 四、小结 例2： 解： 综上所述 2. 复合函数的“分解”： 简单函数 二、反函数 例: 1. Def : 根据定义，有 例： Th. 证明： 注1. 函数严格单调仅是存在反函数的充分条件，而不是必 要条件。例： x y -1 1 1 2 注2. 函数存在反函数与否跟讨论的定义区间有关。 例： 2. 函数及其反函数的图像 例： (2) 图像之间的关系： y O x Fig 7 1、指数函数 一、基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数统称为基本初等函数。 第三节 初等函数 例1 证明 . : : , y r x r ， y x 满足 存在有理数 证明 为实数 设 . , ) ( 2 1 . , y r x y y r x x ， r y x r y x n ， y x n n n n n n ￡ ￡ + = 即得 且有 为有理数 则 令 使得 故存在非负整数 由于 . , : , , b a b a R b a ￡ + ? 则 有 若对任何正数 证明 设 e e 例2 . . , , . . b a b a b a b a b a ， ￡ + + = - = 从而必有 矛盾 这与假设 为正数且 则 令 有 则根据实数的有序性 假若结论不成立 用反证法 e e e e 证明 1.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量（常数）, 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 通常用字母a, b, c等表示常量, 而数值变化的量称为变量（变数）. 常量与变量的表示方法： 用字母x, y, t等表示变量. 一、基本概念 １.２ 函数的概念 例 圆内接正多边形的周长 圆内接正n 边形 O r ) 因变量 自变量 数集X叫做这个函数的定义域 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应规律. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 关于函数定义的几点说明: 几个特殊的函数举例 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 例４. “y 是x的最大整数部分”确定了一个函数 y=[x], 称为取整函数. 例５. 符号函数 1 -1 x y o 有理数点 无理数点 ? 1 x y o 例６. 狄利克雷函数 例７. 函数有时可由方程确定. 如 例８. 取最值函数 y x o y x o （5）函数的图象 性质： （6）函数的相等与不等 注：分清和“函数值的相等与不等”。 例９ 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的