数学史之微积分的发展-2.ppt

牛顿、莱布尼兹发明微积分 一、孕育时期一些数学家的思想方法 1．德莫克利特(Democritus，约公元前460—公元前357)的数学原子论思想． 2．欧多克斯(Eudoxus，公元前409—公元前356)、刘徽、祖暅(约公元五世纪)等人的极限论思想． 3．阿基米德的积分思想． 二、创立时期一些数学家的思想方法 开普勒的思想 伽利略的运动数学理论 卡瓦列里不可分量 费尔玛的贡献 巴罗的特征三角形） 英国数学家巴罗(L Barrow，1630～1677)是牛顿的老师，他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将x扩充为x+△x，然后代入函数，最后再略去△x 开普勒的贡献 1615年发表的《测定酒桶体积的新方法》(Nova Stereometria doliorum vinariorum)一书中．据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑．他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形．例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r．显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半．他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的，用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献 卡瓦列里不可分量 系统运用无限小元素来计算面积和体积． 创新：第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面．第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例． 如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系： OE2=GO2＋EG2 即 RG2＝FG2+EG2． 所以 πRG2＝πFG2＋πEG2． 由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则 　　 1629年，他在《求最大值和最小值的方法》一文中，用一个例子说明他的方法．问题是：已知一条线段，要求出其上的一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大 他设线段长为B，一部分为A，则另一部分为B-A，矩形面积为AB-A2，然后用A＋E代A，另一部分为B-A-E，矩形面积遂成(A＋E)(B-A-E)．费尔玛认为，当A的长度恰为最大值时，这两个值应相等(运用了几何观察) (A＋E)(B-A-E)=AB-A2． 这可整理为BE-2AE-E2=0，约去E，得B=2A＋E，略去E，得B=2A，这就是说，正方形将获得最大面积．这一想法，与微分学的想法非常接近，相当于 牛顿的主要思想： 艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1642～1727)，1642年圣诞节生于英格兰乌尔斯托帕的一个农民家庭．对他的早年和学生时代的生活，史托克校长说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失” 1661年夏天入剑桥大学三一学院，1665年初获文学学士学位．期间，他攻读了欧几里得的《几何原本》及笛卡儿、开普勒等人的数学和物理著作．他的才智开始显露，并被他的老师巴罗所赏识．1669年巴罗辞去他的教授职位，举荐牛顿作为他的继承人，并坦然宣称牛顿的学识已经超过自己，一时被传为佳话．现在剑桥大学的三一学院牛顿雕像之北，也立有巴罗的雕像．此后，牛顿就在剑桥大学任教，直到1696年去担任伦敦造币厂总监． 牛顿一生的重要转折点是1665年，当时伦敦流行鼠疫，波及剑桥．牛顿被迫回到家乡．在那里他终日思考各种问题，运用数年来获得的前人知识和自己的智慧，奠定了为之奋斗一生的三大成就(微积分、光的性质和万有引力)的基础． “当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学．”他意识到了引力的平方反比定律，获得了解决微积分问题的一般方法，通过光学实验作出了划时代的发现，即白光是由各种颜色的光混合而成的． 1661年他进入剑桥大学的三·一学院学习，受到他的老师巴罗的鼓励与帮助，他自己做实验并研究笛卡尔的《几何》以及科珀尼克斯(Copernicus，1473—1543)、开普勒、伽利略、瓦里斯和巴罗的著作． 1665—1666年，牛顿发现了微积分的一般方法，称之为“流数术”．牛顿的流数术中有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．所谓流动量是指一