数学建模 8章 差分方程模型.ppt

二.问题分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 * * * 第八章 差分方程模型 8.1差分方程的基本概念 8.2 减肥计划——节食与运动 8.1　差分方程的基本概念 一、差分的定义 定义 设函数 , 自变量从x变化到x+1 我们称这个量为 在点x步长为1的一阶差分, 的一阶差分. 即： 这时函数的增量记为 简称为 为了方便我们也记 称 为 二阶差分,简记为 . 同样记 为 ,并称为三阶差分. ,称为n阶差分.且有 性质: 当a,b,c是常数, yx和zx 是函数时, Δ(c)=0; Δ(cyx)= cΔ(yx); Δ(ayx+ b zx)= aΔyx+ bΔ zx ; Δ(yx zx)= zx+1Δyx+yx Δ zx = yx+1Δzx+zx Δyx; . 一般记 例　已知 解 Δ(yx)= 特别, 当n为正整数时, Δ(yx)= 推论 若m, ,n为正整数时, m, n P(x)为n次多项式,则 例　已知 求Δ(yx). 求Δ(yx). , 阶数降了一阶. 解 Δ(yx)= 二、差分方程 定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。 它的一般形式为 或 其中F, G是表达式，x是自变量. 使等式成立自变量 的取值范围称为该方程的定义域. 也称为n阶差分方程. n为方程的阶. 形如 称为n阶线性差分方程. 时为齐次的; 为非齐次的. 方程 三、差分方程的解： 1.差分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该 方程的函数称为差分方程的解． 2.对于一阶差分方程来说，它的含有一个任意常数 的解，称为此微分方程的通解． 3.一般来说，对于n阶差分方程，其含有n个互相独 立的任意常数的解称为差分方程的通解． 4.不含有任意常数的解称为差分方程的特解． 同微分方程一样也有初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 二阶的如: 等等. 对于线性差分方程的解的结构有如下结论. 定理1. 如果 和 则对任意常数C1, C2, 也是方程（14-7-1）的解． 都是方程 的解， 定理2. 设 ， 是 的n个线性无关的特解，则 是它的通解. 定理3. 设 ， 是齐次方程 的n个线性无关的特解， 是非齐次方程 的一个特解,则 是非齐次方程的通解. 定理4. 设 ， 是方程： 的解， 是方程： 的解,则 是方程： 的解. 8.2 减肥计划——节食与运动 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持； 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 ~正常； BMI25 ~ 超重; BMI30 ~ 肥胖. 一、问题背景 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 三.模型假设 1.体重增加正比于吸收的热量—— 每8000千卡增加体重1千克； 2.代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。 某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2.若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 1.在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 四、减肥计划 3.给出达到目标后维持体重的方案。