数学建模与数学实验第二讲§2.ppt

* §2 传染性的随机感染问题 这是一个简单的概率模型。 在某种可传染性疾病的发生期，人群中有病人(称为带菌者)和健康人(易感染者)，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时，健康人是否被感染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么，怎样估计平均每天有多少健康人被感染？这种估计的准确性有多大？ 模型假设：我们不对传染病的感染机理和人群的接触状况作具体分析，仅就一般问题作出分析。 1. 人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记作 i 和 s，总数 n 不变，即 i +s=n 2. 人群中任何两人的接触是相互独立的，具有相同的概率，每人每天平均与m人接触。 3. 当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为λ。 这里涉及到四个独立的参数：n , i , m, λ，通常n , i 是已知的，而 m ,λ可以根据数据或经验获得。 为了解释和建立这个模型，我们需要简单介绍一些概率的知识。 在所考虑的一个随机问题(称为试验)中, 所有可能的结果(称为基本事件)数量是有限的, 且它们出现的可能性是相等的且不会同时出现。这种随机问题称为古典概型。 在古典概型中，一个随机事件A所包含的基本事件的数量为 r，而试验的所有可能的结果的数量为 n , 事件A发生的概率记为P(A), 则 例如, 从一批由90件正品3件次品的产品中任意抽取一件，求取得正品的概率。 所有产品的数量为93件，而取得一件正品这一事件A，只能在90件正品中抽取一件，才能使A发生，所以，取得正品的概率P(A)为 若一项试验是完全相同的一个试验的 n 次重复，且它们是相互独立的，即每一次的结果都不依赖与其它各次试验的结果，称这项试验为重复独立试验。我们来讨论一个重要问题。 在一次试验中，事件A发生的概率为 p, 我们来计算, n 次重复独立试验中事件A恰好出现k 次的概率Pn(k)(0≤k≤n)。 由于 n 次试验的独立性, 则事件A在指定的 k 次中出现而在其余 n-k试验中不出现的概率为 pk(1-p)n-k 由组合计算方法知： n 次重复独立试验中事件A恰好出现 k 次的概率Pn(k)为 Pn(k)=Cnkpk(1-p)n -k (k=0,1,2,…,n) 上式右端恰好为[(1- p)+ p]n按二项式展开的项， 所以此问题被称为服从二项分布。其数学期望(即平均值)为： μ= n p 其标准差(即偏差度)为： 建模的目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数 n, i, m,λ的关系。为此需要知道一健康人在一天内被感染的概率。而健康人只要至少与一名病人接触并被感染，该健康人即被感染。所以还要求出一健康人与一指定病人接触并被感染的概率。这个概率为一健康人与一名指定病人接触的概率乘以在接触时被感染的概率λ 。 模型构成： 记任何二人在一天内接触的概率为 p, 这也就是一健康人与一名指定病人接触的概率。 由于任何二人接触是相互独立的，显然一健康人每天接触的人数服从二项分布。根据假设2：每人每天平均与 m人接触,，由二项分布的平均值公式及人群总数 n，所以，任何二人接触的概率 p 满足： m =(n -1) p 所以 再根据假设3：当健康人与一病人接触时, 健康人可能被感染的概率为λ，并记一健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为 p1，则： 为求一健康人一天内被感染的概率 p2，我们知道其至少接触了一个病人，则 将上式展开成级数，并注意到 nm1，得： 一天中健康人被感染的人数也服从二项分布，所以每天平均被感染人数： μ=sp2=(n－i)p2 (※) 此式给出了健康人每天平均被感染人数μ 与已知参数 n, i, m,λ的关系。由二项分布的标准差(绝对误差估计式)公式可知： 故 此式就是平均值μ的相对误差。 模型解释：由健康人每天被感染概率 p2的近似表达式 (※※) 可知：其与一病人接触并被感染的概率λ、人们在一天中平均接触的人数 m以及当前病人的人数 i 成正比而与人群总数量 n 成反比。 同样由健康人每天被感染的平均人数μ的近似表达式(※) 可知 : μ与一健康人与病人接触并被感染的概率λ、人们在一天中平均接触的人数 m成正比,而且随人群总数量 n 增加而增加。对于μ与当前病人的数量