数学建模——减肥计划修改.ppt

数学建模——减肥计划 陕西师范大学2011级数创二班 杨云丽 张丽 武婧 高婧 翁娇恋 韩德华 问题描述： 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目的，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。 问题分析： 1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。 3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少，减少体重不要过快来表达 模型假设： 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）； 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人而异； 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于8000kcal 建立模型： 某甲体重90千克，目前每周吸收18000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至70千克。 减肥计划： 在节食加运动的情况下，分为三阶段 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全下限（8000Kcal） 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续运动，体重减至70Kg，减肥成功 第三阶段：保持减肥成果 基本模型： K: 表示第几周； ω(k):表示第k周的体重； C(k):表示第k周吸收的热量； α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; β:表示代谢消耗系数（因人而异） 体重变化基本方程 其中β’= β+ β1 β1为增加运动时的代谢消耗系数， 由运动的形式和时间决定. 模型求解： 先确定甲不运动时的代谢消耗系数β。 根据已知条件c=18000kcal, α =1/8000,ω=90kg不变，由基本模型得 ω= ω+αc- βω 推出 β=0.025 这相当于每周每公斤体重消耗热量18000/100=180kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖 再确定甲运动后的代谢消耗系数β1 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量： 跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增加运动后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) 试取β 1=αγt=0.003，即 γt=24 则β’=0.028 第一阶段： 要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限cmin=8000kcal,即 ω(k)- ω(k+1)=1, ω(0)- ω(k)=bk ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)- β ’ω(k) 根据α,β’,b, cmin已知，取β1=0.03 β ’=0.028，有 C(k+1)=10000-200k≥ cmin=8000 得 K ≤10,即第一阶段共10周，按照C(k+1)=10000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至80kg 第二阶段：要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型得 ω(k+1)=ω(k)+α cmin - β ’ω(k) =（1- β’）ω(k)+ α cmin 要得到减至70kg所需周数，可将上式递推得 已知ω(k)=80, α, β’, cmin，求ω(k+n)=70，由上式得： 70=0.972n(80-35.715)+35.714 解得n=9,即每周吸收热量保持在下限，再过9周就可减至70kg 第三阶段： 若要维持70kg的体重，最简单的方案是找出每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。 由上式 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω C=(β+αγt)ω/α 若不运动β1= αγt=0，得c=14000kcal； 若运动，则c=15680kcal 减肥建议