数学建模-微积分模型.doc

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存 如果日需求量价值100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r； （2）每次的订货费用为c1，每天每件产品的存贮费为c2 ； （3）T天订一次货,每次订Q件，且当存贮量为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r，Q都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数时，进货Q件这类小电器,储存量以需求r的速率递减，直到q(T)=0。 易见 Q= (4.1) 一个周期的存贮费用 C2= 一个周期的总费用 C= 每天平均费用 (4.2) 模型求解 求T，使取最小值。 由 ，得 (4.3) 上式称为经济订货批量公式。 模型解释 (1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小； (2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。 模型应用 将代入(4.3)式得 T=10天,Q=1000件，c=1000元。 4.2 允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为0.1元，请给出最优结果。 与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设 （3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3 。缺货时存贮量q看作负值，的图形如图4.2，货物在时送完。 一个供货周期内的总费用包括：订货费，存贮费，缺货费，借助图4.2可以得到 一个周期总费用为 每天的平均费用 （4.4） 利用微分法，令 可以求出最优的值为 （4.5） 记 通过与不允许缺货的模型相比较得到 （4.6） 显然，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。（4.6）式表明，缺货费越大，值越小，与越接近，这与实际是相符的，因为越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当时，，于是。这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。 将所给的数据代入（4.6）式得到 元。 4.3森林救火模型 本节讨论森林救火问题。森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢?队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。 从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。记失火时刻为，开始救火时刻为，火被熄灭的时刻为。设t时刻烧毁森林的面积为，则造成损失的森林烧毁的面积为。下面我们设法确定各项费用。 先确定的形式，研究比更直接和方便。是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。在消防队员到达之前，即，火势越来越大，即随t的增加而增加；开始救火后，即，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即逐渐减小，且当时，。 救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。 模型假设 需要对烧毁森林的损失费、救火费及