数学建模插值法与曲线拟合讲课.ppt

插值与曲线拟合 一、问题的提出 在生产和实验中，关于函数f(x)，经常存在两种情况： （1）其表达式不便于计算； （2）无表达式. 而只有函数在给定点的函数值， 怎样预测其它点的函数值？ 飞机机翼制造 下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线. 山体地貌 要在某山区方圆大约27平方公里范围内修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区，再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测量一次，得到一些地点的高程： 船在该海域会搁浅吗？---作业 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入. 水深和流速的问题 在水文数据测量中，不同水深的流速是不同的. 水文数据的测量时天天进行的，为了减少测量的工作，希望得到确定的水深和水流之间的关系. 为此测量了一系列不同水深和流速值. 下表给出了对某河流的测量数据，其中水深和流速根据适当的单位进行了规范化，共10个值. 美国人口问题 据美国人口普查局数据： 从1790每隔10年至2000年的总人口（单位：百万）如下示 t = 1790:10:2000; p = [3.9, 5.3 , 7.2 , 9.6 , 12.9 , 17.1 , 23.1 , 31.4 , 38.6 , 50.2 , 62.9 , 76 , 92 , 105.7 , 122.8 , 131.7 , 150.7 , 179 , 205 , 226.5 , 251.4 , 281.422]; 预测2001，2002年的美国人口数？并与调查数据285.318，288.369比较，选择拟合较好的模型。 农作物施肥效果分析1992年A题 在农业生产试验研究中，对某地区土豆的产量与化肥的关系做了一实验，得到了氮肥、磷肥的施肥量与土豆产量的对应关系如下表： 1.根据上表数据分别给出土豆产量与氮、磷肥的关系式。 2.施肥问题优化策略 配药方案---作业 一种新药用于临床之前, 必须设计给药方案. 在快速静脉注射的给药方式下, 所谓给药方案是指, 每次注射剂量多大, 间隔时间多长. 药物进入机体后随血液输送到全身, 在这个过程中不断地被吸收, 分布, 代谢, 最终排出体外. 药物在血液中的浓度, 即单位体积血液中的药物含量, 称血药浓度. 在最简单的一室模型中, 将整个机体看作一个房室, 称中心室, 室内的血药浓度是均匀的. 快速静脉注射后, 浓度立即上升; 然后逐渐下降. 当浓度太低时, 达不到预期的治疗效果; 血药浓度太高, 又可能导致药物中毒或副作用太强. 临床上, 每种药物有一个最小有效浓度 c1 和一个最大治疗浓度 c2. 设计给药方案时, 要使血药浓度保持在 c1-c2 之间. 设本题所研究药物的最小有效浓度c1=10, 最大治疗浓度 c2=25( ). 显然, 要设计给药方案, 必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律. 为此, 从实验和理论两方面着手. 在实验方面, 对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后, 在一定时刻 t (小时)采集血样, 测得血药浓度c. 如表: 血药浓度c(t) 的测试数据 二、问题的解决 （1）插值法； （2）曲线拟合法． 插值法 定义：当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … ，yn = f(xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数 p(x) ? f(x)，满足条件 p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)，（插值条件） 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数； 构造插值函数的方法为插值法。 曲线拟合 但是不要求使 p(xi) = yi ,而只要 p(xi) ? yi 总体上尽可能小。这种构造近似函数p(x) 的方法称为曲线拟合法， p(x) 称为拟合函数。 插值与拟合的相同点 都需要根据已知数据构造函数。 可使用得到函数计算未知点的函数值。 插值与拟合的不同点 插值: 过节点; ； 拟合: 不过点, 整体近似； 插值法 拉格朗日插值 牛顿插值 三次埃尔米特插值法 分段线性插值 分段三次埃尔米特插值法 三次样条插值 1、 拉格朗日插值公式 （１）定义 对给定的n+1个节点x0 , x1,x2,…,xn及对应的函数值y0