数学建模提高班专题5——时间序列建模.ppt

第一讲 规划模型、案例及软件求解 2015数学建模提高班 差分方程与时间序列模型 专题 课 件 提 纲 1 差分方程的引例与概念 2 特殊差分方程的解 3 平衡点及其稳定性 4 差分方程组 5时间序列与其中的趋势分析 6自回归模型 7自回归模型识别及参数确定 8自回归模型预测及相关说明 9 建模练习题 1 差分方程的引例与概念 例1. 某人贷款80万元买了一套房子，期限20年.已知贷款月利率为5 ‰ ，请问他每月要还贷多少？ 微分方程：连续变量间存在函数关系。知道了这个关系，就能够研究变量间的联系与变化规律。然而，这个关系是未知的，但我们可以建立起含自变量，因变量及其导数或微分的等式，这就是微分方程。通过对方程的研究以求得这个函数关系，或通过方程直接揭示变量间的联系就构成了微分方程的主要研究内容。 一般的，对有函数关系的两个变量，常用x当自变量，y当因变量。但在差分方程中，因自变量只取整数值（如0,1,2，…），我们更喜欢用n(或t)表示自变量，这时因变量可用x或y表示。其函数关系是x=x(n)，但我们更常用xn表示。当然，这个关系是不知道的，但我们常能得到的是如下的式子 F(n, xn, xn-1,…, xn-k)=0 （1） 或 G(n, xn, xn+1,…, xn+k)=0 （2） 或 H(n, xn, Δxn,…, Δkxn)=0 （3） 这种式子就是差分方程。 有时，（1）也写成如下的形式 xn=f (n, xn-1,…, xn-k) (4) 因此，差分方程也称为递推关系。 考虑例1，用n表示月份(n=0表示贷款月份)，xn表示第n月还贷后还欠的钱，r, a分别表示银行月利率和月还钱数， xn 表示了账户中欠钱数与月份间的函数关系（ 未知），但我们容易得到一个式子 xn +rxn -a = xn+1 即 xn+1-(1+r) xn =-a (5) 此外，还有初始条件 x0=80（万元）及x240=0。 这就是贷款问题的差分方程模型。 对离散关系xn，其函数值构成序（数）列{xn}(x1,x2,x3,…)。记 Δxn=xn+1-xn （序列后项减前项构成的序列）, 称为xn的一阶差分，Δ2 xn = Δ(Δ xn)= Δxn +1-Δxn = xn +2-2 xn +1+xn称为xn的二阶差分，依次类推。 对式 (5)：xn+1-(1+r) xn =-a ，也可将它写为： xn-(1+r) xn-1=-a 或Δxn-rxn=-a （差分方程因此而得名）. 即同一个关系用不同视角不同符号式子会不同，但可以互化（它们是同一个东西）。 差分方程中的最高阶差分的阶或因变量的最大下标与最小下标之差称为差分方程的阶。 差分方程的解是函数，通常有无穷多个。通解是全部解的集合（体现在独立任意常数上，其个数与方程阶数相同）。另外，在实际问题中常会给出一些附加条件（如x0的值），称为初始条件。满足初始条件的具体的解就是特解。 差分方程问题的研究内容： 1 差分方程的建立（离散变量关系的建立，也可将连续问题离散化）； 2 差分方程的求解和分析。 差分方程在实际问题中有广泛的应用。 差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分方程是无法求解的。这里介绍最简单同时用处很大的一类特殊差分方程的求解。 常系数线性齐次差分方程，其一般形式为 xn+a1xn-1+…+akxn-k=0 (6) 其中a1,…,ak是常数。 方程（6）有解，其求解步骤为: 步骤1: 求解对应的特征方程 λk +a1 λ k-1+…+ak=0 （7） 步骤2: 根据步骤1的解的情况写出（6）的通解； 情况1：若λ是（7）的一个单实根，则λn是（6）的一个特解。若λ1, λ2,…, λk是（7）的k个全部不同的单实根，则（6）的通解