数学建模第六章2.doc

幻方趣谈 一、幻方的概念 定义 若一个 n阶由1~n2的正整数组成，且每行、每列与两对角线上的n个元素之和都相等. 则称此矩阵为n阶幻方. 每行的n个元素之和称为幻和，并记为Sn. 例如，下面分别是3阶幻方和4阶幻方 8 1 6 3 5 7 4 9 2 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 幻和的计算公式 S3=3(1+9)/2=15, S4=4(1+16)/2=34, S5=5(1+25)/2=65 注：不存在2阶幻方 二、幻方的起源 传说,我国远在夏禹治水时(公元前23世纪), 陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产. 于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天. 事后，一只神龟从河中跃出, 背上有一个九种花纹的图,后人把这个图称为“洛书”. 它就是从1到9连续自然数排成3行的图. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 此图我国古代也称为九宫图. 最早见于记载的4阶幻方,是在印度卡俱拉霍地方发现的一个11世纪的碑文上. 它是一个极不平凡的4阶幻方,有着十分玄妙的性质. 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4 它除了一般四阶幻方的通有的性质外，还有如下特性： （1）任一“折断的对角线”上4个数之和也等于幻和34；（2）任一2阶子阵的4个数之和也等于幻和34；（3）任一3阶子阵的4角4个数之和也等于幻和34；（4）任一3阶子阵的2对角数之和恰是幻和34的一半17. 顺便提一下，1977年美国发射寻求星外文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上除了携带向宇宙人问候的“地球之声”(古今音乐、近六十种语言的问候话,三十五种自然界的各种声响唱片)外,还带了一些图片,其中有这张4阶幻方图. 1980年，上海博物馆在整理明代古墓的出土文物时，发现了一块玉佩上有一个4阶幻方，它也有上述玄妙的性质： 8 11 14 1 13 2 7 12 3 16 9 6 10 5 4 15 三、自然顺序方阵及其性质 定义 把自然数1~n2从小到大排成n阶方阵: ， 通项 ， 把A称为自然顺序n阶方阵. 把行（列）号之和等于?n+1的两行（列）称为对称行（列），当n为奇数时，设n=2k-1，称为中心数，它位于A的中央. 位于对称行（列）同列（行）的两个数与（）称为行（列）对称数，而关于中心对称的两个数与称为对称数. 位于不同行，不同列的数称为独立数. 矩阵A的性质： 性质1. 任两个对称数之和都是. 证 . 性质2. 任意n个独立数之和为幻和Sn. 证. 设是A的n个独立数，则是从1到n的一个排列，故 . 因此 推论.主(次)对角线上n个数之和为Sn.任一折断的对角线上n个数之和也为Sn. 性质3 任两个对称行（列）的2n个数之和都等于2 Sn. 证：把两个对称行（列）的2n个数视为n对对称数，由性质1，其和为 性质4 当n=2k-1时，第k(中间)行(列)的n个数之和为Sn. 证.第k行的和 第k列的和 四、奇数阶幻方 设n=2k?1，（k=1,2,…）. (一) 构造方法1----连续摆数法 按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方. 先画一个n×n方格表； 把1填写在第1行中间； 当m填好后，若m的右上方空，则把m+1填在此格，否则，把m+1填在m的下方. (把第1列视作第n列的右方，把第n行视作第1行的上方) 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 例如 填写一个3阶幻方和5阶幻方 8 1 6 3 5 7 4 9 2 可验证其幻和分别为15和65. (二)．连续摆数法的原理 设是按以上方法构造的n阶方阵，是自然顺序方阵. 1．B与A的变换公式 设m表示正在写的数，当时，m写在pn的下面（例如n=5时，6在5下面，11在10下面等）,否则，m在m-1的右上方. 17 24 1 8 15 1 2 3 4 5 23 5 7 14 16 6 7 8 9 10 B: 4 6 13 20 22 A: 11 12 13 14 15 10 12 19 21 3 16 17 18 19 20 11 18 25 2 9 21 22 23 24 25 从而，是一条折断对角线，且对应于A的第p+1行。以上讲的B的每一条折断对角线，是固定的数（mod n），故设, B的第1条折断对角线，,对应A的第1行；故设 可见规律是： ，即 B的第2条折断对角线，,对应A的第2行；故设 可见规律是： ，即 一般，B的第t条折断对角线， 把代