数学建模--微分方程第一讲(暑期培训).ppt

微分方程模型 第一讲 1、微分方程的主要适用范围 2、微分方程模型的分析方法 7、建立微分方程模型的依据 8、案例－物体的运动、振动、受力形变 6、案例－生物的数量变化或密度变化 2011高教社杯 A题 城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 (3)分析污染物的传播特征：建立扩散微分方程模型 背景知识：环境介质一般是指在自然环境中能够传递物质和能量的媒介，空气，水，土壤是最基本的环境介质。尽管污染物在进入不同的环境介质之后做着复杂的运动变化，但都是由以下几种基本形式组成的： 1、随着介质的迁移运动 2、污染物的扩散运动 3、污染物的衰减与转化 4、污染物被环境介质吸收或吸附 5、污染物的沉淀 1、迁移运动 推流迁移是指污染物在气流或水流作用下产生的空间位置上的转移，单纯的推流作用不能降低污染物的质量和浓度 2、污染物的扩散运动 由分子的随机热运动引起的质点的扩散现象，分子扩散过程符合Fick第一定律，扩散物质量与其浓度梯度成正比 3、污染物的衰减与转化 污染物在环境中的衰减过程可用一级动力学规律描述，即 接下来只需利用回归分析方法对模型进行参数估计，最后再做模型检验即可。 模型的修改： 案例一、传染病模型 模型目标 模型假设 1、SI模型（只考虑S和I两类人） (2) 人群数量足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。 (3) 每个I类的人每天“有效接触”的人数（包括病人、健康人）为常数λ。这个常数实际上就是传染率，反映本地区的卫生水平。 (4) 不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。（简化问题） 构造模型 模型求解 SI模型图形分析 SI模型结果分析 2、SIS模型（可治愈但不免疫模型） 1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为μ。 构造模型 模型求解 模型结果分析 3、SIR模型（免疫模型） 1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率λ，日治愈率μ。 模型求解 将方程组转化成下面的形式： 模型分析 考察随着时间的推移，s(t)、i(t)、r(t)的变化规律。 首先，t →+∞时，分别以s ? , i ? , r?记各自的极限，这些极限都存在。 模型分析 i ? = 0 ?（用反证法） 假设i ? ? 0 ，那么必然有 i ? = ? 0。 根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)ε/2，把这个结论代入方程组。 模型分析 其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为： 模型分析 1/σ是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/σ。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类； 二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。 参数估计 对参数σ的估计： 令解两端同时取t→+∞，因为 i ? = 0 ，得到 其他类型的传染病模型 SIES模型——健康－染病－潜伏期－健康不免疫 SIER模型——健康－染病－潜伏期－移出系统 SIRS模型——健康－染病－短时免疫－健康(易感) 考虑抵抗能力 考虑地域传播 考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等) 事物发展的稳定与不稳定 平衡点稳定的几何特征 一阶微分方程 2、二阶微分方程 二阶微分方程 二阶微分方程 二阶微分方程 3、一阶线性差分方程 4、二阶线性差分方程 5、一阶非线性差分方程 例、 捕食系统的Volterra方程 一、两个生物种群的竞争模型 考虑两个生物种群竞争同一种有限资源的问题。在自然条件下，适应环境能