数学建模：第二章 古典模型.ppt

§5 利用微积分建模 一、租客机还是买客机 问题：某航空公司为了发展新航线的航运业务，需要增加5架波音747客机。如果购进一架客机需要一次支付5000万美元现金，客机的使用寿命为15年。如果租用一架客机，每年需要支付600万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为12%，问购买还是租用客机合算？如果银行的年利率为6%？ 因为买飞机共支付5000万元，租飞机15年的租金为 万元，所以买飞机必然比租飞机合算。这种想法对吗？ 不对，因为没有考虑到利率对货币价值的影响。 几个概念： 1、 将A元现金存入银行，年利率按r计算，若以连续计息的方式结算，则t年后的存款额为 （为什么？） 因此，A元现金T年之后的价值是 ，称 为A元现金T年之后的期末价值。 现增加1席共21席（为了方便提案表决），重新分配，按比例计算得甲、乙、丙三系分别占席位为10.815、6.615、3.570，按上面的分法分别为11、7、3，这样增加了个一席位，但丙系的席位反而减少了一个，你认为合理吗？ 请给一个比较公平的席位分配方案。 下面介绍一个席位分配模型： 设A、B两方人数分别为 则两方每个席位所代表的人数分别为 “绝对不公平”不是一个好的衡量标准。 为了改进绝对标准，自然想到用相对标准。 首先对“相对不公平”下个定义： 为对A的相对不公平值， 为对B的相对不公平值， 假设A、B两方已分别占有 利用相对不公平的概念来讨论，当总席位再增加1席时，应该给A方还是给B方？ 不失一般性， 即此时对A方不公平， 当再分配1个席位时， 有以下三种可能： 这说明既使A方增加1席， 仍然对A不公平，所以这1席当然给A方。 说明当A方增加1席时， 将对B不公平，此时计算对B的相对不公平值： 说明当B方增加1席时， 将对A不公平，此时计算对A的相对不公平值： 公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小， 所以如果 则这一席应给A方；反之，应给B方。 根据(4-6).(4-7)两式，(4-8)式等价于 不难证明，从上述第(1)种情况也可推出(4-9)。 于是得结论： 当(4-9)式成立时，增加的1席应分配给A方；反之，应分配给B方。 则增加的1席应分配给Q值较大的一方。 将上述方法推广到有m方分配席位的情况： 当总席位增加1席时，计算 则这1席位应分配给Q值最大的那一方, 现在利用（4-10）来解决开始的问题。 可以说前19席没有争议，即甲、乙、丙各为10、6、3，现在讨论第20和21席应归于何方： 第20席 计算 =96.4 =94.5 =96.3 即第20席应分给甲系。 第21席 计算 =94.5 =96.3 即第21席应分给丙系。 最后甲、乙、丙系的席位分别为11、6、4，这样丙系保住它险些丧失的1席，你觉得这个方法公平吗？ 思考题： 比利时(dHondt)分配方案： 将甲、乙、丙三系的人数都用1.2.3…去除，将商从大到小排列，取前21个最大的，这21个中各系占有几个，就分给几个席位，你认为这种方法合理吗？ 三、 蛛网模型（留给同学自学） 四、常染色体遗传模型 1、亲体基因遗传方式与问题 1）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花，而aa型的开白花。 又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛为棕色；基因是aa型的人，眼睛是蓝色。这里Aa和AA都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A是隐性的，当一个新体的基因型为Aa，而另一个亲体的基因为aa，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因的概率，如表1 - 2所示。 ? 基因型的概率分布 后代 基因型 父体 – 母体（n-1代）基因型 AA -