数学建模：第三章 微分方程模型.ppt

硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日军守军21500人全部阵亡或被浮，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战斗进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况，日军没有后援。根据实际战地记录，由正规战争模型得到的美军伤亡的理论曲线与实际伤亡曲线相当吻合。 二、混合战争模型 记 表示t时刻游击队人数； 表示t时刻正规军人数。 假设： (1)游击队的战斗减员率与 及 的乘积成正比，因为 越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大，另一方面， 越大，火力越强， 的伤亡人数也就越大。 (2)正规军的战斗减员率与游击队人数成正比。 (3)游击队和正规军的增援率分别为f(t),g(t)。 则混合战争模型： 其中 为常数。 称为正规军的战斗有效系数； 称为游击队的战斗有效系数； 战斗中，若双方都无增援，即f(t)＝g(t)＝0， 则(10-7)变为 由(10-8)得 积分 若初始条件为 (10-9)式在xoy平面上是一族抛物线，如图 图中箭头表示兵力随时间而变化的方向。 由图知： 若M0，乙军胜，且当y减少到 时，x将为零； 若M＝0，平局，且当y减少到零时，x也将为零； 若M0，甲军胜，且当x减少到 时，y将为零。 因此对于正规军来说，为了保证取胜的战斗态势，必须M0，即 所以正规军取胜的条件： 由于 分别表示正规军与游击队的战斗有效系数，所以可将它们表示为 其中 是正规军的射击率（每个士兵单位时间射击次数）， 是正规军每次射击的命中率； 是游击队的射击率（每个士兵单位时间射击次数）， 是游击队每次射击的命中率。 但在战斗过程中，可假定正规军在游击队的火力之内且游击队每次射击是有目标的，而游击队虽然在正规军的火力之内，但活动范围大且是隐蔽的，所以正规军每次命中率与游击队活动范围及每次射击的打击面有关， 因此 又可表示为 表示游击队的活动范围； 表示正规军每次射击有效面积。 所以 将(10-12)代入(10-11)得正规军取胜的条件： 假定正规军的作战火力比游击队作战火力强， 不妨设 ； 游击队的作战兵力 ＝100人， 命中率 ＝0.1， 活动范围 ＝0.1平方千米， 正规军每次射击的有效面积 ＝1平方米， 则由(6-13)式，正规军取胜的条件为 即正规军必须10倍于游击队的兵力才能取胜。 美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方为越南，乙方为美国）。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规军一方要想取胜必须至少投入8 倍于游击队一方的兵力。而美国最多只能派出6倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后胜利。 ? ????? 三、游击战争模型 §11 发射卫星为什么用三级火箭 一、为什么不能用一级火箭发射卫星？ 1、卫星进入轨道，火箭所需的最低速度。 将问题理想化，假设: (a)、卫星轨道为过地球中心某一平面上的圆，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕 地球作平面圆周运动（如图) (b)、地球是固定于空间的均匀球体，其他星球对卫星的引力忽略不计。 设地球半径为R，中心为O，地球质量看成集中于球心（根据地球为均匀球体的假设），曲线C为地球表面， 为卫星轨道，其半径为r，卫星质量为m， 根据牛顿定理，地球对卫星的引力为 其中G为引力常数，可由卫星在地面的重量算出，即 代入(11-1)式得 由假设(a)，卫星所受到的引力既它作匀速圆周运动的向心力，故又有 故有 从而速度为 取g=9.81m/ ,R=6400km,可算出卫星离地面高度为h公里处的速度如下表 离地面高度h(km) 100 200 400 600 800 1000 卫星速度v(km/s) 7.86 7.80 7.69 7.58 7.47 7.37 ? 2、火箭推进力及速度的分析