数学物理方法1-3.ppt

* Δz→0 或 z → z0 的示意图如右： 导数，记作： f (z) 或 则称 w=f (z) 在点z可导，并称这个极限值为 f (z)在 z点的 1.3 复变函数的导数与解析性 保角映射 一、复变函数的导数 柯西—黎曼条件 1.导数的定义：设 w=f (z)是在区域D中定义的单值函数， 对D内某一点z，若极限 存在, (并且是与Δz→0 的方式无关的有限值) 说明：(1)实变函数导数f (z)的定义 例：设 f (z) = zn，求 f (z) =？ 可见，实变函数、复变函数导数的定义形式一样，但 对于实变函数来说Δz 只能沿实轴逼近零(有两种趋近方式)。 如对两种趋近方式来说，其极限存在且相同，则f (x) 在x点 可导；而对于复变函数来说Δz可沿复平面的任一曲线逼近 零，若沿任何方式逼近z时，极限存在且相同 ，则称f (z) 在 点z可导。因此复变函数的可导要求严格得多。 (2) 导数存在要求f(z) 在点z连续，但并不是：f (z)在点 z 连 续，则 f(z) 在点 z 一定可导。 设 存在，则 2.导数公式 实变函数与复变函数导数的定义形式相同 实变函数所有的导数公式可推广到复变函数 与实变函数导数公式形式相同的例子： 在z点的微分，记作 则称w=f (z) 在z点可微，且Δw 的线性部分αΔz称为w=f ( z) 式中 ， 是关于 的高阶无穷小量， 设w=f (z)在z点的改变量 可以写成 3.微分的定义与微分公式 得微分公式 又 f (z)在点z可导的必要条件是 存在，且 满足C – R条件： 二、柯西——黎曼条件（C–R条件） 要解决的问题：给定一函数w=f (z)=u(x , y )+i v(x, y)， 如何判断f (z)在点z是否可导？ 导数存在的必要条件： 证明：由导数的定义可知: Δz以任何方式趋于零时,极限 存在，且有同一的极限值，即f (z)与Δz→0的方式无关， 使我们可讨论沿平行x轴和y轴趋于0的情形。 设：Δz = Δx + i Δy，则函数的改变量为 令Δz = Δx，Δy=0 ，即Δz 沿平行于x轴的方向趋于 0，则 2.令Δx=0，Δz = i Δy，即Δz沿平行于y轴的方向趋于0，有 2 1 若f (z)在点(x, y)可导，则(1)、(2)两式相等，于是 ——柯西–黎曼条件 (C – R条件) 说明： 1. f (z)在点z可导的必要条件只保证沿平行于x轴和y轴方向Δz→0 时， 趋于同一极限，但没有保证沿任意方向Δz →0时， 趋于同一极限。 2.由C – R条件，f (z)可写为以下四种形式 补充：全微分 对于一元函数 y=f (x)，y关于x微分的特性： 1. 它与自变量的改变成正比； 2. 当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较 自变量的改变量更高阶的无穷小。 函数的改变量 函数的微分 对于二元函数 u=f(x,y) 定义：若函数 u=f(x,y) 的全改变量Δu可表示为 且其中A , B与Δx, Δy无关而仅依赖于 x,y，则称在点(x,y)可 微。并称AΔx + BΔy为f (x,y)在点(x,y)的全微分，记为du或df (x,y) , 即 若f(x,y)在点(x,y)可微，则有 即 f(x,y) 在点(x,y)可微 → f x 存在且等于A 定理：若 f x (x ,y) 及 f y (x ,y)在点(x ,y)及某一邻域内存在且 在这一点它们都连续，则函数u= f (x,y)在该点可微。 同理f y 存在且等于B，故 对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微性之间密切联系。以下定理说明了这种联系： 证明： 已设f x 、f y 存在，当Δx, Δy 充分小时，应用中值定理： f x 、f y在点(x , y)连续 Δx→0, Δy→0时： 由定义可知f (x,y)在点( x, y)可微。 三、导数存在的充分必要条件 u (x,y) 及 v ( x, y)可微且满足C–R条件 f (z)在D内点z可导的充要条件是： 证明：1. 充分性。由于u,v可微，故u,v的全微分存在，即 ：无穷小量 对于任意的Δz = Δx + i Δy ，有： ，极限存在且相