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数学软件解微分方程
用MATLAB求解微分方程 * 1. 微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’) 结 果:u = tan(t+c1) 解 输入命令:dsolve(Du=1+u^2,t) 解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x) 解 输入命令 : [x,y,z]=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); 结 果 为:x = C2*exp(2*t)+C3*exp(-t) y = C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)+exp(-2*t)*C1 z = C2*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 2. 用Matlab求常微分方程的数值解 [t,x]=solver(’f’,ts,x0,options) ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的m-文件名 ts=[t0,tf],t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初值 ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为:options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at), rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组. 注意: 解: 令 y1=x,y2=y1’ 1、建立m-文件vdp1000.m如下: function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0,tf=3000,输入命令: [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 3、结果如图 解 1、建立m-文件rigid.m如下: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0,tf=12,输入命令: [T,Y]=ode45(rigid,[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) 3、结果如图 图中,y1的图形为实线,y2的图形为“*”线,y3的图形为“+”线. 导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时,导弹将它击中? 解法一(解析法) 由(1),(2)消去t整理得模型: 解法二(数值解) 1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x); 2. 取x0=0,xf=0.9999,建立主程序ff6.m如下: x0=0,xf=0.9999 [x,y]=ode15s(eq1,[x0 xf],[0 0]); plot(x,y(:,1),’b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,’b*) 结论: 导弹大致在(1,0.2)处击中乙舰 令y1=y,y2=y1’,将方程(3)化为一阶微分方程组。 *
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