数学模型 第四版 姜启源 第6章 代数方程与差分方程模型.ppt

人口模型 存活率矩阵 生育模式矩阵 x(k)~状态变量, ?(k)~控制变量 双线性方程(对x(k), ?(k)线性) 原模型 用无量纲化方法减少独立参数个数 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特征尺度） —无量纲变量 如 利用新变量 将被简化 令 xc, tc的不同构造 1）令 ?为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 的不同简化结果 3）令 ?为无量纲量 2）令 ?为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 1) 2) 3) 的共同点 只含1个参数——无量纲量? 解 1) 2) 3) 的重要差别 考察无量纲量 在1) 2) 3) 中能否忽略以?为因子的项？ 1) 忽略?项 无解 不能忽略?项 无量纲化方法 2) 3) 忽略?项 不能忽略?项 忽略?项 1) 2) 3) 的重要差别 无量纲化方法 火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r ? r 原问题 可以忽略?项 是原问题的近似解 1) 2) 3) 的重要差别 无量纲化方法 为什么3)能忽略?项，得到原问题近似解，而1) 2)不能? 1）令 2）令 3）令 火箭到达最高点时间为v/g, 高度为v2/2g, 大体上具有单位尺度 项可以忽略 项不能忽略 无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著《自然科学中确定性问题的应用数学》 无 量 纲 化 无量纲化是研究物理问题常用的数学方法. 选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验. 恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素. 6.4 市场经济中的蛛网模型 问 题 供大于求 现 象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定? 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定? 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律. 商品数量与价格在振荡 蛛 网 模 型 g x0 y0 P0 f x y O xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格. 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 需求函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, 且 xk+1=xk+2=…=x0 , yk+1=yk+2= …=y0 供应函数 x y O f g y0 x0 P0 设x1偏离x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 P0是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点 x y O y0 x0 P0 f g ? ? 曲线斜率 蛛 网 模 型 ? 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方 程 模 型 方程模型与蛛网模型的一致 ? ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ? ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察? , ? 的含义 ? ~ 消费者对需求的敏感程度 ? ~ 生产者对价格的敏感程度 ?小, 有利于经济稳定 ? 小, 有利于经济稳定 结果解释 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格. 经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 ? 尽量小，如 ?=0 以行政手段控制价格不变 2. 使 ? 尽量小，如 ? =0 靠经济实力控制数量不变 x y O y0 g f x y O x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量. 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件 方程通解 (c1, c2由初始条件确定) ?1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件: 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了! 模型的推广 6.5 减肥计划——节食与运动 背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持. 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标. 分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起. 饮食（吸收热量）引起体重增加. 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少. 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 ~ 正常； BMI25 ~ 超重; BMI30 ~ 肥胖. 模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量——每8000kc