数学软件MATLAB课件第二章_对偶理论及灵敏度分析.ppt

第二章 对偶线性规划 对偶的定义 对偶问题的性质 原始对偶关系 目标函数值之间的关系 最优解之间的互补松弛关系 对偶单纯形法 对偶的经济解释 灵敏度分析 §2.1 线性规划的对偶问题 一、对偶问题的提出 现有甲乙两种原材料生产A1，A2两种产品，所需的原料，甲乙两种原料的可供量，以及生产A1,A2两种产品可得的单位利润见表。问如何安排生产资源使得总利润最大？ 二、对称形式下对偶问题的一般形式 原始问题 max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 结论：对偶问题的对偶为原问题 原始问题 max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0 当B为最优基，XB为最优解时，则有： 原问题任一可行解的目标函数是其对偶问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数是其原问题目标函数的上界。 如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数无界，则原问题无可行解。（对偶问题无可行解时，其原问题无界解或无可行解。 若原问题有可行解而其对偶问题无可行解时，原问题目标函数无界。 若对偶问题有可行解而其原问题无可行解时，对偶问题目标函数无界。 ◆单纯形法求解的过程，从对偶的观点来看，是在始终保持原始可行解的条件下，不断改进对偶可行性的过程。一个从对偶不可行的解，经过几次叠代，逐步向对偶可行解靠拢，一旦得到的解既是原问题可行的，又是对偶可行的，这个解就分别是原问题和对偶问题的最优解。 设有问题 max Z=CX ， AX ＝b ， X ≥0 又设B是其一个基，当非基变量都为0时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有一个负分量，并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，这种情况就可以用对偶单纯形法来进行求解。 step1.确定初始解 求初时基可行解,列出初始单纯性表(一般取松弛变量为基变量)；若所有检验数≦ 0，且所有的基变量值均≥0，则此解为线性规划问题的最优解；若存在基变量的值≤0，则问题还没有达到最优解，则进行如下计算； step 2.改进 选择换出变量：min{ B-1bi | B-1 bi≤0},假设选取xr为换出变量； 选择换入变量：θ＝min{(cj-zj)/arj|arj＜0},假设xl为换入变量； step 4.迭代 使得alk＝1，其余aik为0。 对偶单纯形法的优点 (1)初始解可以是非可行解，当检验数都≤时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以直接计算。 (2)当变量多于约束条件，对这样的LP问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。因此，对变量较少，而约束条件很多的LP问题，可以先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。 (3)在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。 灵敏度分析总结 若目标函数或约束右端向量是某个参数的线性函数称为参数线性规划 （1）令λ=0，求解得最终单纯形表； （2）将λC*或λb*反映到最终单纯形表中； （3）确定在最优基不变情况下λ允许取值的范 围；当λ取值超出该范围时，用单纯形法或对偶单纯形法求新的最优解； （4） （1）对偶问题的提出 （2）根据原问题写对偶问题 （3）对偶问题的基本性质 （4）对偶单纯形法 （5）灵敏度分析 （6）参数规划 习题 1.研究线性规划问题 2.研究方程组 3.用图解法求下列线性规划问题 4.研究以下线性规划问题 5.求线性规划问题 已知该问题约束条件均为“≤“，所有变量≥0.x3,x4,x5为松弛变量，根据以下单纯形表求线性规划问题 6.研究线性规划问题 在第k个约束条件两边同乘以λ，原问题和对偶问题的解有何变化？ 8.研究线性规划问题 11.已知线性规划问题 max Z=3x1+2x2 -x1+2x2≤4 3x1+2x2≤14 x1-x2≤3 x1,x2≥0 1）写出它的对偶问题 2）应用对偶理论证明原问题和对偶问题都存在最优解 12.已知线性规划问题 min Z=2x1-x2+2x3 -x1+x2+x3=4 -x1+x2-kx3≤6 x1≤0,x2≥0, x3 无约束 其最优解为x1= -5, x2=0, x3= -1 1）求k的值 2）写出并求出其对偶问题的最优解 13.已知线性规划问题 min Z=8x1+6x2+3x3+6x4 x1+2x2 +x4≥3 3x1 +x2