数理方程ppt03.ppt

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数理方程ppt03

* * Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师:杨春 数学科学学院 热传导、稳态场方程及其定解条件 (一)、热传导方程 第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 (二)、稳态场方程 (三)、影响物理系统的其它条件 常用物理规律(二) 1、热传导定律 定义热流密度: 2、牛顿冷却定律 单位时间内流过单位面积放出的热量为: 3、比热公式 4、高斯定律 (一)、热传导方程 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求杆内温度的变化规律。 (1)、细杆的热传导问题 x x+dx L u(x,t) x n 在dt时间内流入微元的热量为: 在dt时间内放出微元的热量为: 在dt时间内微元吸收的净热量为: 由比热公式: 由热量守恒定律得: 一维齐次热传导方程 设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x,y,z, t)所分布的规律。 (2)、三维空间中的热传导问题 导热体 热场 分析: (1)、[t1,t2]时间里流入导热体的热量Q1计算 先要给出在[t1,t2]时间里流入导热体的热量,然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。 dS n 流入dS的热量微元为: 在[t1,t2]时间里流入S的热量为: (2)、[t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2计算 导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为: [t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2为: 由热量守恒定律:Q1=Q2 于是得到: 三维齐次热传导方程 如果导热体内部有热源,不难得到非齐次方程形式为: 其中,f ( M, t) 被称为自由项。 物质扩散与热传导现象相似。所以,热传导方程也称为扩散方程。 (二)、稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题,主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。 1、稳定温度分布 三维齐次热传导方程为: 热传导达到稳定状态时有: 称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程. 由静电场的高斯公式: 如果设: 2、静电场中的电势分布规律 可以得到: 静电场是保守场,于是存在势函数u(x,y,z)满足: 把(2)代入(1)得: 这就是静电场中电势满足的泊松方程 如果ρ=0,则泊松方程变为拉普拉斯方程。 泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。 设流体速度为:v(x,y,z),流体源强度:f(x,y,z),则: 由于流体无旋流动,于是存在速度势φ 3、流体的无旋稳定流动的速度势分布规律 使: 于是有: 这是泊松方程 1、波动方程: 三类典型物理方程总结 2、热传导方程: 3、稳态场方程(泊松方程): 1、不含初值条件 带第一类边界条件:狄里赫列问题,简称狄氏问题; 稳态场方程的定解条件问题 2、边界条件 带第二类边界条件:牛曼问题; 带第三类边界条件:洛平问题。 稳态场方程求解将在第六章讨论! (三)、影响物理系统的其它条件 1、衔接条件 反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。 当物理系统涉及几种介质时,定解条件中就要包括衔接条件。 例1、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0 分析:连接处面上点的位移相等,面上协强相等。 x=x0 Y1 Y2 x u1(x,t) u2(x,t) 所以,衔接条件为: 例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件 设ε1,ε2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势;?f表示分界面S上电荷面密度。 (1)、在界面处,两种介质中的电势应相等 事实上:根据电场强度与电势梯度的关系有: 于是,若假定E为p1p2上的平均 电场强度 (显然它有限) ,则: 两边对ΔL取极限得: (2)、在界面处,可以导出如下等式: 事实上:根据有介质高斯公式就可以推出上式。 Qf是面S内的总电荷 有介质高斯公式为:

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