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* * Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 数学科学学院 热传导、稳态场方程及其定解条件 (一)、热传导方程 第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 (二)、稳态场方程 (三)、影响物理系统的其它条件 常用物理规律(二) 1、热传导定律 定义热流密度： 2、牛顿冷却定律 单位时间内流过单位面积放出的热量为： 3、比热公式 4、高斯定律 (一)、热传导方程 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 (1)、细杆的热传导问题 x x+dx L u(x,t) x n 在dt时间内流入微元的热量为： 在dt时间内放出微元的热量为： 在dt时间内微元吸收的净热量为： 由比热公式： 由热量守恒定律得： 一维齐次热传导方程 设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z, t)所分布的规律。 (2)、三维空间中的热传导问题 导热体 热场 分析： (1)、[t1,t2]时间里流入导热体的热量Q1计算 先要给出在[t1,t2]时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。 dS n 流入dS的热量微元为： 在[t1,t2]时间里流入S的热量为： (2)、[t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2计算 导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为： [t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2为： 由热量守恒定律：Q1=Q2 于是得到： 三维齐次热传导方程 如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为： 其中，f ( M, t) 被称为自由项。 物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。 (二）、稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。 1、稳定温度分布 三维齐次热传导方程为： 热传导达到稳定状态时有： 称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程. 由静电场的高斯公式： 如果设： 2、静电场中的电势分布规律 可以得到： 静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足： 把(2)代入(1)得： 这就是静电场中电势满足的泊松方程 如果ρ=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。 泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。 设流体速度为：v(x,y,z),流体源强度：f(x,y,z),则： 由于流体无旋流动，于是存在速度势φ 3、流体的无旋稳定流动的速度势分布规律 使： 于是有： 这是泊松方程 1、波动方程： 三类典型物理方程总结 2、热传导方程： 3、稳态场方程(泊松方程)： 1、不含初值条件 带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题； 稳态场方程的定解条件问题 2、边界条件 带第二类边界条件：牛曼问题； 带第三类边界条件：洛平问题。 稳态场方程求解将在第六章讨论！ (三）、影响物理系统的其它条件 1、衔接条件 反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。 当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。 例1、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0 分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。 x=x0 Y1 Y2 x u1(x,t) u2(x,t) 所以，衔接条件为： 例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件 设ε1，ε2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；?f表示分界面S上电荷面密度。 (1)、在界面处，两种介质中的电势应相等 事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有： 于是，若假定E为p1p2上的平均 电场强度 (显然它有限) ，则： 两边对ΔL取极限得： (2)、在界面处，可以导出如下等式： 事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。 Qf是面S内的总电荷 有介质高斯公式为：