数理方法-总复习(2014-12修改).ppt

数学物理方法 复习纲要 1.课程考核成绩: 平时成绩30%+期末成绩70% 复变函数部分 要掌握的概念和公式 1.对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z) 2. z=x+iy共轭的复数记作z，即 3.在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作 4.在z?0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的辐角, 记作 Arg z=q这时, 有满足 -pq0?p的q0称为Arg z的主值, 记作q0=arg z 当z=0时, |z|=0, 而辐角不确定.arg z可由下列关系确定: 5. 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq, y = r sinq,可以将z=x+iy表示成三角表示式: z = r(cosq +i sinq), (1.2.7)利用欧拉公式eiq=cosq +i sinq得指数表示式: z=r eiq (1.2.8) 6. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂, 记作zn 对任意正整数n, 我们有 zn=[r(cosnq+isinnq)]n=rn(cos nq+isin nq). (1.3.7) 7.复变函数和映射在z平面给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数. 映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象. 第二章 解析函数 考核知识点 1 复变函数的导数的定义、导函数。 2 复变函数可导与连续的关系，求导法则。 3 解析函数的定义、奇点。 4 柯西—黎曼方程、函数解析的充要条件。 5 指数函数、对数函数、三角函数、幂函数 和双曲函数以及反函数的定义和性质。 要掌握的概念和公式 2.对数函数 6.反三角函数和反双曲函数 第三章 复变函数的积分 考核知识点 1 有向曲线的定义，正方向的规定。 2 复变函数积分的定义、积分存在的条件，复积分的一般计算方法，复积分的基本性质。 5 柯西－古萨基本定理、复合闭路定理和闭路变形原理。 6 原函数的概念、牛顿－莱布尼兹公式。 7 柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式。 8 综合利用上述定理和公式计算积分。 9调和函数、解析函数与调和函数间的关系。 重点掌握的知识点和题型（有2个题） 2、利用柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式计算复积分。 例如：P89例题1、2），P100习题7、1）、10） 第四章 级数 考核知识点 1 复数列、复数项级数收敛的定义、收敛的充要条件。 2 幂级数的收敛圆和收敛半径、幂级数的性质。 3 泰勒展开定理。 4 洛朗展开定理。 5 利用展开式(4.3.5)和(4.3.8)把一些复变函数展开成泰勒级数或洛朗级数。 重点掌握的知识点和题型 重点掌握在不同圆环域内把某复变函数展开成洛朗级数。 第五章 留数 考核知识点 1 可去奇点、极点、本性奇点三类孤立奇点的定义和分类。 2 函数极点与函数零点的关系。 3 留数的定义。 4 可去奇点、本性奇点的留数的计算。 5 极点留数的计算：规则1，2，3，4。 8 利用留数定理求沿封闭曲线积分；掌握利用留数定理计算定积分（主要是三种类型在课本第163－168页）的方法。 留数定理 重点掌握的知识点和题型 第三节，留数在定积分上的应用，P185习题13的3）、4）、5） 积分变换部分 第一章 Fourier 变换 考核知识点 1 Fourier变换的定义:(1.9),(1.10)。 2 Fourier正弦、余弦变换的定义:(1.11) －(1.14) . 3 单位脉冲函数的定义、公式(1.17); F[d(t)]=1, F[ e-j(w-w0)t ]=2pd(w-w0) 4 周期函数的频谱An=2|cn|和非周期函数的频谱|F(w)|. 5 Fourier变换的性质:线性性质，位移性质，微分性质，积分性质 6 卷积的定义和卷积定理。 1