数模(差分方程模型)1.ppt.ppt

数学建模电子教案 重庆邮电大学 数理学院 沈世云 023shensy@cqupt.edu.cn 差分方程模型 重庆邮电大学 数理学院 沈世云 7.1 差分方程基本知识 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 Fibonacci 数列 日常的经济问题中的差分方程模型 日常的经济问题中的差分方程模型 ? ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ? ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察? , ? 的含义 ? ~ 消费者对需求的敏感程度 ? ~ 生产者对价格的敏感程度 ?小, 有利于经济稳定 ? 小, 有利于经济稳定 结果解释 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 ? 尽量小，如 ?=0 以行政手段控制价格不变 2. 使 ? 尽量小，如 ? =0 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件 方程通解 (c1, c2由初始条件确定) ?1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件: 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了 模型的推广 1、问题的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。 2、模型假设 １）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。 ２）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。 7.3 简单的鹿群增长问题 ３）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。 ４）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。 ５）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。 ６）鹿的生育数与鹿的总数成正比。 3、模型的建立与求解 分别以 和 表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。 一年后，幼鹿存活的数量与 之比叫做幼鹿的存活率。 由假设５，每年的存活率是一常数，分别以 和 表示幼鹿和成年鹿的存活率。 因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设６，生育率也是常数， 分别以 和 表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。 一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为 成年鹿可生育的幼鹿数为 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s， 所以一年以后新的幼鹿数： (7.2.1) 一年以后，原来的幼鹿存活数为 原来的成年鹿的存活数为 所以新的成年鹿的数目是 (7.2.2) (7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组： (7.2.3) 或用矩阵表示为： (7.2.4) 这是一个一步方程，令 ， A= 则(7.2.4)式可表示为 (7.2.5) 于是可推出： 或 = n (7.2.6) 如果知道开始时幼鹿数量 和成年鹿的数量 ，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的总数。 为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化： 令 =0 即