数模多元函数微分学.ppt

多元函数微分学 一、多元函数的概念 三、全微分 四、多元函数的极值 一、多元函数的概念 二、偏导数 高阶偏导数 链式法则 三、全微分 四、多元函数的极值 3. 条件极值拉格朗日乘数法 解 所求全微分 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 1、二元函数极值的定义 (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ 2、多元函数取得极值的条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 解 * 二、偏导数 （1）邻域 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， （5）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 解 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 解 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况： 链式法则如图示 解 解 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 全增量的概念 全微分的定义 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 解 所求全微分 解