新课标人教A版数学选讲4-1几何证明选讲一.doc

2012版数学一轮精品复习学案：选修系列 第三部分 几何证明选讲 【高考目标导航】 一、相似三角形的判定及有关性质 1．考纲点击 （1）了解平行线分线段成比例定理。 （2）会证明并应用直角三角形射影定理。 2．热点提示 （1）利用平行线等分线段定理和平行级分线段成比例定理进行相关推理和计算。 （2）相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的射影定理的应用。 二、直线与圆的位置关系 1．考纲点击 （1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 （2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 2．热点提示 （1）应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间的关系。 （2）应用圆内接四边形的性质进行推理。 （3）利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明。 （4）利用圆中的比例线段进行计算和推理。 【考纲知识梳理】 一、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论 （1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 （2）推论： ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 2．平行线分线段成比例定理及推论 （1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 如图，若， 则有： 注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。 3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。 （2）相似三角形的判定 ①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如图，若EF//BC，则⊿AEF∽⊿ABC。 ②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 ③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。 注：根据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。若两优秀干等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。 （3）直角三角形相似的判定： ①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。 ②定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。 ③定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 ④定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 （4）相似三角形的性质 ①相似三角形的性质（一） （ⅰ）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 （ⅱ）相似三角形周长的比等于相似比。 （ⅲ）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ②相似三角形的性质（二） （ⅰ）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比。 （ⅱ）相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方。 4．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 如图，在Rt⊿ABC中，CD是斜边AB上的高， 则有CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB。 二、直线与圆的位置关系 1．圆周角定理 （1）圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ②推论 （ⅰ）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 （ⅱ）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。 （2）圆心有定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2．圆内接四边形的性质与判定定理 （1）圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角互补。 ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 （2）圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3．圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理及推论 （1）定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 （2）推论： ①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。 5．与圆有关的比例线段 圆中的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相