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2013高考数学教案和学案(有答案)-------第4章__学案18
学案18 三角函数的图象与性质
导学目标: 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
自主梳理
1.周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定域内的每一个x值,都满足__________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数____叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________,那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期.
2.三角函数的图象和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在______________上增,在______________上减 在_____________上增,在_____________上减 在定义域的每一个区间____________________内是增函数(kπ,0)
(k∈Z) (kπ+,0)
(k∈Z) (,0)
(k∈Z) x=kπ+,
(k∈Z) x=kπ,
(k∈Z) 无 自我检测
1.设点P是函数f(x)=sin ωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是________.
2.函数y=3-2cos(x-)的最大值为________,此时x=________.
3.函数y=tan(-x)的定义域是________.
4.比较大小:sin(-)________sin(-).
5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为________.
探究点一 求三角函数的定义域
例1 求函数y=+的定义域.
变式迁移1 函数y=+lg(2sin x-1)的定义域为________________________.
探究点二 三角函数的单调性
例2 求函数y=2sin的单调区间.
变式迁移2 (1)求函数y=sin,x∈[-π,π]的单调递减区间;
(2)求函数y=3tan的周期及单调区间.
探究点三 三角函数的值域与最值
例3 已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
变式迁移3 设函数f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=bsin(ax+)的周期.
转化与化归思想
例 (14分)求下列函数的值域:
(1)y=-2sin2x+2cos x+2;
(2)y=3cos x-sin x,x∈[0,];
(3)y=sin x+cos x+sin xcos x.
【答题模板】
解 (1)y2sin2x+2cos x+2=2cos2x+2cos x
=2(cos x+)2-,cos x∈[-1,1].
当cos x=1时,ymax=4,当cos x=-时,ymin=-,
故函数值域为[-,4].[4分]
(2)y3cos x-sin x=2cos(x+).
∵x∈[0,],∴≤x+≤,∵y=cos x在[,]上单调递减,
∴-≤cos(x+)≤,∴-≤y≤3,故函数值域为[-,3].[9分]
(3)t=sin x+cos x,则sin xcos x=,且|t|≤.
∴y=t+=(t+1)2-1,∴当t=-1时,ymin=-1;
当t=时,ymax=+.
∴函数值域为[-1,+].[14分]
【突破思维障碍】
1f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定ωx+φ的范围,再求值域.同时,对于形如y=asin ωx+bcos ωx+c的函数,可借助辅助角公式,将函数化为y=sin(ωx+φ)+c的形式,从而求得函数的最值.
2.关于y=acos2x+bcos x+c(或y=asin2x+bsin x+c)型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题.
给你提个醒!不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域.
1.(组).
2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.
3.函数y=Asin(ωx+φ) (A0,ω0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间来求.
(满分:90分)
一、填空题(每小题6分,共48分)
1.函数y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0,ω0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.
2.(2010·江苏6校高三联考)已知函数y=tan ω
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