有限差分法(张海编写—新版).ppt

2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 3.7 有限差分法 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 电磁场与电磁波 电子科技大学编写 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社 出版 本节内容 3.7.0 有限差分法的基本思想 3.7.1 有限差分方程的推导 3.7.2 差分方程的求解方法 3.7.0 有限差分法的基本思想 静态场问题 分布型问题 ：已知场源，求场或求位。 边值问题 解析法 数值法 分离变量法（直接法） 镜像法（间接法） 有限差分法 有限元法 矩量法 边界元法 解析法特点：结果是电磁场在空间分布的解析表达式（精确解） 数值法特点：实际问题中由于边界过于复杂，无法用解析法求 解，因此只能用数值计算方法；其所得结果为电 磁场在空间离散点上的数值的集合（近似解） 有限差分法的基本思想 将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。 3.7.1 有限差分方程的推导 一、问题引出 求解二维空间内，电位函数 的空间分布 以第一类边值问题为例 （3.7.1） 正方形网格剖分法 二、网格划分 节点： 步距： 用 表示节点 处的电位值 三、差分方程推导 利用二元函数的泰勒展开公式，可将于节点 直接相邻 的节点上的电位值表示为： （3.7.3） （3.7.4） （3.7.5） （3.7.6） 将式（3.7.3）与式（3.7.4）相加，并略去h2的更高阶项： （3.7.7） （3.7.8） （3.7.9） 将式（3.7.5）与式（3.7.6）相加，并略去h2的更高阶项： 将以上两式代入（3.7.1）： 可得： 节点（xi, yj）处的差分方程 四、差分方程意义 3.7.2 差分方程的求解 1. 简单迭代法 先对场域内的节点赋予初始值 ，这里上标（0）表示第0次近似值，即初始值。然后再按照： （3.7.10） 进行反复迭代。若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。 （3.7.11） 三点注意： 初始值的赋予是任意的； 赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值； 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。