有限元课件 单元分析.ppt

三角形单元中的节点位移如下： 根据克莱姆法则，可求出?1， ?2 ， ?3 同理可得 vi = ?4+?5xi+?6yi vj = ?4+?5xj+?6yj vm = ?4+?5xm+?6ym 解出?4 , ?5 , ?6 ? 写成矩阵形式 单元的应变 由于 单元的应力 根据弹性方程 对于平面应力情况 形函数的性质 Ni 在其余二节点上的值等于零 把面积的行列式以第一行展开乘第二行的代数余子式 把面积的行列式以第一行展开乘第三行的代数余子式 在单元上任一点的三个形函数之和等于 1 面积坐标 面积坐标与形函数的关系 需说明有了位移场，结合具体分析问题使用相应的列式方法（势能原理、虚位移原理、Galerkin法）即可建立单元刚度方程，实际上是为了获得单元刚度矩阵和单元等效结点荷载矩阵。 * 杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的，但对于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际结点。要将物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或面作人为地分割。将物体进行分割时，必须保证相邻单元具有公共边界。假定相邻单元仅在一些点（顶点或顶点加边中点）相连接。这些点即为“结点”。实际计算时，可将连续体分成多种形状单元，为讨论简单，现暂时规定只用一种单元来分割。 以位移为未知量的有限元法，最关键的工作是建立单元位移场，因此本节主要介绍各种单元位移场的建立。 引 言 平面问题有限元法可用的单元很多，先介绍最简单的单元：三角形。 第四章 平面问题的有限元分析 §4-1 有限元法基本思想和解题步骤 一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在结点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。 有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 二、经典解与有限元解的区别： 微分 数目增到∞ 建立一个描述连续体 经 典 解 法 —— （解析法） 大小趋于 0 性质的偏微分方程 有限单元 离散化 集合 总体分析解 有限元法——连续体——单元——代替原连续体 （近似法） （单元分析） 线性方程组 x y 为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型 三、有限元法算题的基本步骤 1. 力学模型的选取 （平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等） 例如： 根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。 2. 单元的选取、结构的离散化 例如： 　　结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。 3. 选择单元的位移模式 （4-1） ——单元内任一点的位移列阵； ——单元的结点位移列阵； ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐　　　　　标的函数） 4. 单元的力学特性分析 把（3-1）式代入几何方程可推导出用单元结点位移表示的单元应变表达式： （4-2） 式中： ——单元内任一点应变列阵； ——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的　 函数） 再把（4-2） 式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式： （4-3） 　　最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移 列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式： 　　 式中： ——单元内任一点的应力列阵； ——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关） 式中： ——单元刚度矩阵 （4-4） （4-5） 　　考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（4-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。 用直接刚度法将单刚　　组集成