机械振动二自由度.ppt

展开得到 将w1 ，w2代人广义特征值问题 取 u11=u21=1， u12=-1， u22=1 求固有频率 求振型矩阵 振型矩阵和它的逆矩阵为 由 令 若 振型图？ 求振幅与相位 得到 令 由三角和差化积公式得 分析振动特点 k很小时 图 3—6 由于k很小，这样Dw远小于w0，可以把cosDwt和sinDwt看成随时间变化的振幅，它们的变化周期为 响应如图3—7所示。从图中可以看出，t＝0时，左边摆的振幅为q0，右边摆的振幅为0，即静止不动。随着时间的增长，左边摆的振幅越来越小，右边摆的振幅越来越大。当t=Dt/2时，左边摆静止不动，右边摆的振幅为q0。时间继续增长后，左边摆的振幅将越来越大，右边摆的振幅将越来越小。当t＝DT时，两个摆又回到t＝0的运动状态，完成了一个周期的振动。 系统的动能为 因为响应是系统振型的线性组合，我们来看每个振型对应的固有振动的动能和势能，第一阶固有振动为 它的动能和势能为 系统的势能为 系统的能量特点 第二阶固有振动为 它的动能和势能为 因此有 系统的动能和势能分别是各阶固有振动的动能和势能之和。对于任意的无阻尼系统，这个结论都成立 振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动和能量可以按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统的各阶固有振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的，彼此没有能量交换 常见的二自由度系统模型 注意：自由度的概念 第三章 二自由度系统 运动微分方程 模型－－单元体分离－－力平衡关系－－运动微分方程 设： 矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了 多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵 系统的动能为 系统的势能为 系统的能量耗散函数 动能、势能和能量耗散函数均是非负的。也就是说，对任意的位移，任意的速度，必然有 　　由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩阵也是正定矩阵。 　　上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自由度系统和n自由度系统。 将m1，m2联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合。如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。 利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素 对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) 0 , 则称 f 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A 0 。 定义 设有实二次型 如果对于任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A 0 ；如果 定理 实二次型 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 证 设可逆变换 上页 下页 返回 如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵。 不同坐标系下的运动微分方程 四个广义坐标yA，yB，yC，q， 示例： 系统的动能和势能为： 1．取广义坐标为yc，q yc和q下的运动微分方程为 时方程存在弹性耦合 对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。 这个方程不存在惯性耦合 yA和q下的运动微分方程为 这个方程存在弹性耦合和惯性耦合 2．取广义坐标为yA，q 系统的动能和势能为： 3. 取广义坐标为yA，yB 时方程存在惯性耦合。 时，方程已经解耦。 系统的动能和势能为： yA和yB 下的运动微分方程为 yA，yB用yc和q表示为 令 以上说明： 即如果广义坐标改变，会导致矩阵的变化----规律 变换矩阵为 在yA和yB下的质量矩阵为 yc和q可用yA和yB表示为 即： 推导过程中，我们得出了不同广义坐标系下刚度矩阵之间的关系。即如果广义坐标{x}和{y}之间有变换关系 在{x}，{y}下的刚度矩阵分别为[K]和[K1]，则由于系统势能大小与广义坐标的选取无关，因而有 从而得到 用与上面相同的方法