李雅普诺夫第二法.ppt

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法;4.3 李雅普诺夫第二法;（3） ，则称 是负定的。;例 设;2. 二次型标量函数;二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T， 通过变换 ，使之化为：;矩阵P的符号性质定义如下： 设 P 为n×n实对称阵， 为由 P 决定的二次型函数，则 （1） 正定，则 P 正定矩阵，记为 P0; （2） 负定，则 P 负定矩阵，记为 P0; （3） 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0; （4） 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P≤0;;3、希尔维斯特判据 设实对称阵 为其各阶顺序主子式，即 矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：;(2)若 ，则 P 负定；; 解：二次型 可以写为; 定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是半负定的。 则平衡状态 为在李亚普诺夫意义下的稳定。; ; ;说明： （1） ，则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2） 不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。 （3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！; 解: 显然，原点 是系统平衡点， 取 ，则 又因为当 时， 有 ，所以系统在原点处 是大范围渐近稳定的。;【例 4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。 解：线性系统，故 是其唯一平衡点。 将矩阵形式的状态方程展开得到： 取标量函数(李雅谱诺夫函数)： ;另选一个李雅普诺夫函数：;解: 系统具有唯一的平衡点 。取 则 于是知系统在原点处不稳定。 ;4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定； （3）V(x)如果能???到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的； （4）V(x)最简单的形式是二次型 ； （5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息； （6）构造V(x) 需要一定的技巧。