材料力学 第八章 弯曲变形(1,2,).ppt

§8-1梁的位移-挠度和转角 一.工程实例 桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。 二、弯曲变形的基本概念 1.挠曲线(平坦的曲线） §8-2梁的挠曲线近似微分方程式 式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定 [例8-2]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。 [例8-3]：已知梁抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。 注意： 1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x的正向依次写出； AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为： 讨论： CL9TU5 * 第八章 弯曲变形 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。 CL9TU1 CL9TU2 另外一些情况却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要,例如车辆上的板弹簧。缓解车辆受到的冲击和振动作用。 2.挠度和转角 规定:y正向的挠度为正，顺针向的转角为正。 挠曲线方程： 转角θ与挠度w 关系： 挠度w：横截面形心处的铅垂位移。 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。 CL9TU3 挠曲线 曲线 的曲率为 梁的挠曲线近似微分方程式： 1.曲率公式 2.曲率与弯矩的符号关系 如图：w ”与弯矩的符号相反。 (+) (-) 数学 材力 3.积分法求梁的挠曲线方程 梁的挠曲线近似微分方程: 要求： （1）约束处满足边界条件 （2）梁中间的点满足连续与光滑条件 弯矩分段,要分段积分 边界条件 y x x = l , w= 0 q = 0 A B y x x = l , w = 0 ( q = 0) x = 0 , w = 0 ( q = 0) 光滑连续条件： C P 试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。 例题 5-1 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 通过两次积分得 (b) 例题 5-1 解: 2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程 转角方程 挠曲线方程 由(3)、(4)两式得 该梁的边界条件为：在 x =0 处 w=0 ，w =0 将C1和C2代入(3)、(4)两式，得 例题 5-1 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠曲线的示意图(图c)。 转角方程 挠曲线方程 (c) 例题 5-1 由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。由(5)、(6)两式得 2. 求qmax和wmax (c) 例题 5-1 3. 由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的： 此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。 例题 5-1 二.算例 [例8-1]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。 CL9TU5 解： 梁的转角方程和挠曲 线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为： θA θB 由边界条件： 得： 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量 例题 5-3 约束力为 两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x)时仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中的F(x-a)展开。 1.分段列弯矩方程 例题 5-3 解: 2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分： 挠曲线近似微分方程 积分得 左段梁 右段梁 例题 5-3 值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件， x=a时，w1 ’ =w2’及w1=w2，由(1)、(1’)和(2)、(2’)式得 C1=D1， C2=D2 。 3. 确定积分常数 例题 5-3 再利用支座位移条件， 即： 在x=0处 w1=0， 在 x=l 处 w2=0 由两个连续条件得： 由(2)式，得 从而也有 例题 5-3 将x=l，代入(2)式，得 即 从而也有 例题 5-3 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1)和(2)、(2)式得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 左段梁 右段