构可靠指标计算的蒙特卡罗法.ppt

反函数方法产生随机变量的抽样的实例 例5-3产生具有指数分布概率密度 的一个抽样 设 反函数方法产生随机变量的抽样的实例 例5-4产生极值I型渐进分布的一个抽样 设 同样可以得到： （2）随机变量函数法产生随机数 基本思想：设随机变量X是其它随机变量Y1,Y2,…Yn的函数，即X=g(Y1,Y2,…Yn),如果能容易的产生Y1,Y2,…Yn的随机数y1,y2,…yn,则可得X的随机数x=g(y1,y2,…yn) 随机变量函数法产生随机数举例 例4-4 X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，试产生N(μ,σ)的随机数。 可以证明右式成立 由此可根据（0-1）均匀分布随机数，产生标准正态分布随机数，再由下式得到正态分布随机数 标准正态分布与均匀分布随机变量之间的关系。 正态分布与标准正态分布之间的关系。 指定子区间内随机数的产生方法（以极值I型为例） x=FX-1(r) 事实上是反函数法在子区间上的应用 在子区间（0，+∞）上的随机数可由下列关系式产生： 蒙特卡罗法求解失效概率实例 例4-5设某构件正截面承载力计算的极限状态方程为Z＝g(R,S)=R-S=0，R、S分别为正态和极值I型分布的随机变量，其统计参数为R（100，20），S（80，24）。试用蒙特卡罗法求解其失效概率。 蒙特卡罗法求解失效概率实例 2.产生R的随机数（R为正态分布） 1.产生（0-1）均匀分布的随机数 3.产生S的随机数（S为极值I型分布） 4.将变量的随机值代入功能函数计算g＝R-S 5.重复1～4，记录下g0的次数L和总次数N 由均匀分布随机数产生正态分布随机数 蒙特卡罗法求解失效概率实例 当 停止 N 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 L 26 47 72 95 117 138 157 177 201 224 失效概率 0.26 0.235 0.24 0.2375 0.234 0.23 0.2243 0.2213 0.2233 0.224 评述 对于小概率事件的结构失效问题，用蒙特卡罗法导致很大的计算量，因此（直接的）蒙特卡罗法对于结构可靠度不高即失效概率较大的情况，有较高的效率。 如何提高蒙特卡罗法的抽样效率，成为该方法要解决的主要问题。 1.引言 （1）同心圆表示联合概率密度函数的等值线，黑点为联合概率密度函数的最大值点，即最大似然点，该点一般在随机变量的平均值附近。 （2）当按一般抽样方法进行随机抽样时，样本点落在最大似然点处的概率最大，所以抽样的样本点大部分落在该点附近。 （3）按照结构安全设计的要求，结构失效为小概率事件，也就是设计结构时，要使最大似然点在可靠域内，且远离失效边界。 蒙特卡罗的重要抽样法 蒙特卡罗的重要抽样法 1.引言 （4）在这种情况下，模拟中只有少数或极少数（取决于失效概率的大小）的样本落入失效域，落入失效域的样本点越少，失效概率估计值的不确定性越大，从而精度越低。例如当进行了一定次数的模拟后仍然没有一个样本点落入失效域，则失效概率的估计值为0，显然不能反映结构失效概率的真实结果。 （5）提高抽样效率的途径是缩减失效概率估计值的方差，为此发展了多种高效抽样方法，其中重要抽样法应用最广。 蒙特卡罗的重要抽样法 2.基本概念 所谓重要抽样法，就是通过改变抽样中心的位置或是用新的概率分布对随机变量进行抽样，来估计失效概率的值，从而达到缩减方差的目的。 理论分析表明，只要做到以下2点均能提高抽样效率：（1）构造的抽样函数要保证有一定数量的样本点落入失效域内；（2）构造抽样函数时，如能考虑极限状态曲面的形状，就会使抽样效率得到提高，从这两个基本原则出发，目前已发展了多种重要抽样方法：直接重要抽样法、更新重要抽样法、渐进重要抽样法和方向重要抽样法。 蒙特卡罗的重要抽样法 直接重要抽样法的思路 从两方面考虑，一是增大样本点落入失效域的机会；二是使示性函数具有较大的权重。 具体做法：将重要抽样随机变量的中心（即平均值）选在对结构影响最大的点（该点可通过理论分析确定，具体见有关文献），也可选在依据一次二阶距分析得到的验算点 上，而重要抽样随机变量的方差可以 取原随机变量的方差，概率分布可以取原来的概率分布，也可以取为其它便于抽样的分布（实际分析中，多取为正态分布，因为其有许多