概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度.ppt

准则 设 则 同理， 如图， 尽管正态随机变量 的取值范围是 但它的值几乎全部集中在 范围的可能性仅占不到此为0.3%. 这在统计学上称为 准则 (三倍标准差原则). 超出这个 如图， 尽管正态随机变量 的取值范围是 例10 格品的概率. 已知某台机器生产的螺栓长度 (单位:厘米) 根据假设 记 表示螺栓为合格品. 则 解 于是 规定螺 服从参数 的正态分布. 内为合格品, 栓长度在 试求螺栓为合 即螺栓为合格品的概率等于 0.9544. 第四节 连续型随机变量及其概率密度 一、 连续型随机变量及其概率密度 二、常用连续型分布 一、连续型随机变量及其概率密度 定义 如果对随机变量 的分布函数 负可积函数 使得对任意实数 有 则称 为连续型随机变量， 称 的概率密度函 数， 简称为概率密度或密度函数. 存在非 (1) (2) 易见概率密度具有下列性质： 注： 上述性质有明显的几何意义. 反之， 可证一个函数若满足上述性质， 则该函数 一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函 数. 1. 对一个连续型随机变量 若已知其密度函数 则概据定义， 可求得其分布函数 还可求得 的取值落在任意区 间 上的概率： 连续型随机变量分布函数的性质： 2. 连续型随机变量 取任一指定值 的概率 故对连续型随机变量 有 为0. 3. 若 在点 处连续， 则 (1) 由定义和积分上限函数导数公式即得， 由(1)式得： (2) 可将上式理解为： 在点 的密度 恰好是 落在区间 上的概率 之比的极限(比 与区间长度 较线密度的定义）. 由(2)式， 若不计高阶无穷小，则有 即， 落在小区间 上的概率近似等于 例1 设随机变量 的分布函数为 求 (1) 概率 (2) 的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有 (1) (2) 的密度函数为 二 常用的连续型分布 （一）、 均匀分布 定义 若连续型随机变量 的概率密度为 其它 易见， 记为 上服从均匀分布， 则称 在区间 注： 在区间 上服从均匀分布的随机变量 其取值落在 中任意等长度的子区间内的概率 是相同的， 且与子区间的和度成正比. 事实上， 子区间 任取 易求得 的分布函数 例2 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达 此站, 如果乘客到达此站时间 是 7:00 到 7:30 之 间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的 概率. 解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意 为使候车时间 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所 求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3. 指数分布 定义 若随机变量 的概率密度为 其中 则称 服从参数为 的指数分布， 简记为 注： 的几何图形如图. 注： 指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待 时间， 例如， 乘客在公交 车站等车的时间， 电子元件的寿命等， 易求得 的分布 其它 服从指数分布的随机变量 具有无记忆性， 有 因而它在可靠 性理论和排队论中有广泛的应用. 函数 即对任意 ( ) * 若 表示某一元件的寿命， 则 式表明： ( ) * 已知元件 使用了 小时， 它总共能使用至少 概率与从开始使用时算起 率相等， 一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因. 即元件对它使用过 小时没有记忆, 它至少能使用 小时的概 具有这 小时的条件 例5 某元件的寿命 服从指数分布, 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时, 至 少已有一个损坏的概率. 解 由题设知, 的分布函数为 由此得到 各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的, 用 表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数, 所求概率为 则 正态分布: 定义 若随机变量 的概率密度为 其中 和 都是常数， 则称 服 从参数为 和 的正态分布， 记为 易见， 又利用泊松积分 参见相关知识点 ① 易证， 注： 正态分布是概率论中最重要的连续型分布， 在十九世纪前叶由高斯加以推广， 故又常称为高 斯分布. 一般来说， 一个随机变量如果受到许多随机因素 的影响， 而其中每一个因素都不起主导作用， 则它服从正态分布. 例如， 产品的质量指标， 元 件的尺寸， 某地区成年男子的身高、体重， 测量 误差， 射击目标的水平或垂直偏差， 信号噪声， 农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布. 正态分布的图形特征: 确定了曲线的位置； 确定了曲线的陡峭程度. 5. 拐点和渐近线。 标准正态分布： 正态分布当 时称为标准正态分布， 此时， 其密度函数和分布函数常用