概率统计课件第1章.ppt

* * 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 例26 某工厂的甲、乙、丙车间生产同一种产品，产量依次占总产量的30%、30%、40%，而三个车间的产品次品率分别为5%、3%、2%. 现从该厂产品中随机抽取一件，试求该产品是次品的概率. 解 设Ai (i=1,2,3)分别表示取到甲、乙、丙车间生产的产品，B表示取到的产品是次品，则A1,A2,A3为Ω的一个划分. 由题意知 由全概率公式有 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 例27 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率. 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个划分，用B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式 乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率. 贝叶斯公式 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 定理2 设A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，且 P(Ai)0（i=1,2,…,n），则对于任何一事件B ( P(B)0), 有 于是 （j=1，2，…，n）。 事实上，由条件概率的定义及全概率公式 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 例28 (续例26)某工厂的甲、乙、丙车间生产同一种产品，产量依次占总产量的30%、30%、40%，而三个车间的产品次品率分别为5%、3%、2%.若某次抽得的一件是次品，则这件产品是甲车间生产的概率. 解 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 例29 据调查某一地区患有癌症的人占0.0003，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，今有一人检查结果为阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 解 设事件A={居民患有癌症}，B={试验结果为阳性}，由题意有 于是可得 由贝叶斯公式，可得 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 这表明在检查结果为阳性的人中，真患癌症的人只有0.708%，还不到1%，为什么检验法的准确率这么高（达到95%），失误的概率也很小（才4%），可检验结果却非常值得怀疑呢？ 事实上，由于在人群中未患这种病的人占到了99.97%，因此检验为阳性者中还是未患癌症的人居多. 在实际中，一般先用简易办法排查掉大量明显不是患者的人，当医生怀疑某人有可能是患癌症时，才建议用这种检验法. 这时被怀疑的对象中患癌症的概率已大幅提高了，如P(A)=40%，再用贝叶斯公式计算，可得P(A|B)≈94.06%，这样就大大提高了检验法的准确率. 例30 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率． 解 记Ai={该学生第i次考试及格}，i=1,2．显然为样本空间的一个划分，且已知 于是，由全概率公式得 由贝叶斯公式得 欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 * 一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如： 设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不放回取样; b)放回取样; 求下列事件的概率： (1) 第二次取得红球的概率； (2) 在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率 解 设Ａ＝{第一次取得白球}，Ｂ＝{第二次取得红球}, a)不放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)=2/4, P(B)≠P(B|A); b)放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)= 2/5 , P(B)＝P(B|A) . §1.