概率论第二章3.ppt

* * §5 随机变量的函数的分布 r 圆的面积用Z表示 如果r是圆的半径，则圆的面积Z=Z(r) 如果r是随机变量，那Z就是随机变量的函数，也是随机变量 * * 如何求随机变量的函数的分布律或概率密度函数 随机变量函数的分布律或概率密度函数与该随机变量的分布律或概率密度函数有何关系 * * 例 17 设随机变量X的分布律如下表，试求 Y＝(X-1)2的分布律 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 解：首先要求出随机变量Y的可取值 X -1 0 1 2 Y 4 1 0 1 * * 则随机变量Y的分布律 X -1 0 1 2 Y 4 1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 P 0.1 0.3+0.4 0.2 * * 例 18 设随机变量X具有以下的概率密度函数，试求随机变量Y＝2X+8的概率密度函数 解：分别记随机变量X、Y的分布函数为FX(x)、 FY(y) * * 则，上式对y求导，即可得到随机变量Y的概率密度函数 * * 例 19 设随机变量X的概率密度函数为 试求随机变量Y＝X2的概率密度 解：分别记随机变量X、Y的分布函数为FX(x)、 FY(y) * * 则，上式对y求导，即可得到随机变量Y的概率密度函数 若：X～N（0，1） * * 则： 此时称Y服从自由度为1的 分布 例17是离散型随机变量的函数,例18、19是连续型随机变量的函数 其解题步骤都是，先求出随机变量X的函数Y的取值范围，然后由已知的随机变量X的分布律(分布函数)，求解随机变量Y的分布律(或分布函数)进而求出Y的概率密度 * * 定理：设随机变量X具有概率密度 并设函数 g(x)处处可导且 ，则 Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 * * 证明： * * * * 例 20 设随机变量X～N（?，?2），试证明X的线性函数 Y＝aX+b(a不为0)也服从正态分布 证明： * * * * * * 由定理得： * * ?在电源电压不超过200V、200?240V、 超过240V三种情况下，某电子元件损 坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，假设 电源电压X服从正态分布N(220，252),求 该电子元件损坏的概率。 ?设X?U(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率 密度。 课堂联系 I * * 第二章 小结 一个变量，两个函数，六种分布、两个定理 1. 一个变量是随机变量 2. 两个函数是分布函数和概率密度函数 4. 六种分布是：两点分布、二项式分布、泊松分布、 均匀分布、指数分布、正态分布 3. 两个定理是标准正态化定理和随机变量的函数的概率密度