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模块复习 ——正方形 基础知识 自主学习 基础知识 自主学习 [难点正本　疑点清源] 正确运用正方形的性质、判定来解题 正方形的性质是我们研究菱形的角或边的重要依据，利用正方形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件． 包括定义在内，正方形共有六种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别． 题型分类 深度剖析 题型二　正方形的判定 例2 如图，已知 ?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延 长线上的点，△ACE是等边三角形，且∠AED=2∠EAD， 求证：四边形ABCD是正方形. 思想方法 感悟提高 要点梳理 两组对角分别相等的四边形 ① 对角相等 ② 邻角互补 角 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ① 两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等 边 对角线平分的四边形 对角线互相平分 对角线 判定 性质 定义：两组对边分别平行的四边形 要点梳理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的四个角都是直角 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 两组对边分别平行 两组对边分别相等 边 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的两条对角线相等 对角线 判定 性质 矩形 ①对角相等. ②邻角互补. 角 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. 菱形的四条边都相等. 边 ①对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 菱形的两条对角线互相垂直； 并且每条对角线平分一组对角. 对角线 判定 性质 基础知识 自主学习 要点梳理 菱形 基础知识 自主学习 菱形 要点梳理 基础知识 自主学习 菱形 有一个角是直角的菱形 正方形的四个角都是直角. 角 ① 一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 正方形的四条边都相等. 边 ①对角线相等的菱形是正方形. ②对角线互相垂直的矩形是正方形. ③对角线相等并且互相垂直平分的四边形 ①正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分. ②每条对角线平分一组对角. 对角线 判定 性质 正方形 ①定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四 边形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形； ⑤对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑥对角线相等并且互相垂直平分的四边形是正方形； 题型一　正方形的性质 例1 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE. （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么 分析： （1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF. （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF，又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立. 证明：（1）在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，且BE=DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）. ∴CE=CF. （2）GE=BE+GD成立. 理由是： ∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF. ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD， 即∠ECF=∠BCD=90°. 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°. ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG（SAS）. ∴GE=GF， ∴GE=DF+GD=BE+GD. 注意点：证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在 三角形全等的思想，在第二问中通过全等找出和GE 相等的线段，从而证出关系是不是成立. 探究提高　 正方形四条边都相等，对边平行，四个角都是直角， 对角线相等、垂直且