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模块复习 ——矩形 基础知识 自主学习 基础知识 自主学习 [难点正本　疑点清源] 正确运用矩形的性质、判定来解题 矩形的性质是我们研究矩形的角或边的重要依据，利用矩形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件． 包括定义在内，矩形共有三种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别． 题型分类 深度剖析 例1．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（ )． 解　证明：由矩形可知，AC=BD,OB=OD, OA=OC， ∠BAD=90°. 又∵∠AOB=60° ∴△ABO为等边三角形 ∴AB=AO=BO=5 ∴ BD=2BO=10 又由∠BAD=90°，△BAD为Rt△ ∴ 题型二　矩形的判定 【例 2】　 如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形 题型三　矩形的折叠问题 【例 3】如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，求AF长为. 探究提高　利用矩形的性质和直角三角形的勾股定理可以求角的度数、线段的长度，以及利用全等三角形证明角相等、线段相等，关键是选择所需要的边、角相等条件，也可以利用勾股定理解决矩形的折叠问题． 思想方法 感悟提高 要点梳理 两组对角分别相等的四边形 ① 对角相等 ② 邻角互补 角 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ① 两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等 边 对角线平分的四边形 对角线互相平分 对角线 判定 性质 定义：两组对边分别平行的四边形 平行四边形 要点梳理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的四个角都是直角 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 两组对边分别平行 两组对边分别相等 边 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的两条对角线相等 对角线 判定 性质 矩形 ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； 题型一　矩形的性质 A B D C O A B D C O 探究提高　矩形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，四个角都等于90°，对角线相等且互相平分，利用这些性质可以解决与矩形相关的问题，也可将矩形的问题转化为直角三角形的问题，最常用的是①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②在直角三角形中．30°所对的直角边是斜边的一半。 （1）证明：由?ABDE可知，AB ∥DE且AB =DE AE∥BD且AE=BD 又∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB且AC=ED 又∵ AB ∥DE ∴ ∠ABC=∠EDC ∴ ∠ACD=∠EDC 又∵在△ADC和△ECD中 ｛ ∴ △ADC≌△ECD AC=ED ∠ACD=∠EDC DC=CD （2）证明：由?ABDE可知 AE∥BD且AE=BD， AB=DE 又∵BD=CD ∴AE=DC 又∵ AE ∥DC ∴四边形ADCE是平行四边形 又∵AB=AC ∴AC=DE ∴四边形ADCE是矩形 探究提高　探索矩形成立的条件，有多种方法判定矩形： ①若条件中涉及角，考虑用 “有三个角是直角的四边形”来证明； ②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线相等的平行四边形”