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模块复习 ——菱形 基础知识 自主学习 [难点正本　疑点清源] 正确运用菱形的性质、判定来解题 菱形的性质是我们研究菱形的角或边的重要依据，利用菱形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件． 包括定义在内，菱形共有三种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别． 题型分类 深度剖析 题型二　菱形的判定 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点. 求证：MN与PQ互相垂直平分. 题型三　折出来的菱形 思想方法 感悟提高 要点梳理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的四个角都是直角 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 两组对边分别平行 两组对边分别相等 边 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的两条对角线相等 对角线 判定 性质 矩形 基础知识 自主学习 要点梳理 基础知识 自主学习 要点梳理 ①对角相等. ②邻角互补. 角 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. 菱形的四条边都相等. 边 ①对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 菱形的两条对角线互相垂直； 并且每条对角线平分一组对角. 对角线 判定 性质 基础知识 自主学习 要点梳理 菱形 ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边都相等的四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 题型一　菱形的性质 例1 菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上. （1）如图1，若E在边BC上，且E为BC中点，∠AEF=60°；求证：BE=DF； （2）如图2，若∠EAF=60°；求证：△AEF是等边三角形. 证明：（1）如图1，连结AC， ∵在菱形ABCD中，∠B=60° ∴AB=BC=CD ∴∠C=180°-∠B=120° ∴△ABC是等边三角形 ∵E是BC的中点 ∴AE⊥BC ∵∠AEF=60° ∴∠FEC=90°-∠AEF=30° ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF =180°-30°-120°=30° ∴∠FEC=∠CFE ∴EC=CF ∴BE=DF （2）如图2，连结AC， ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠ACB=60° ∴∠B=∠ACF=60° ∵AD∥BC ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD ∴∠AEB=∠AFC ∴△ABE≌△ACF（AAS） ∴AE=AF ∵∠EAF=60° ∴△AEF是等边三角形. 探究提高　 菱形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线垂直且互相平分，利用这些性质可以解决与菱形相关的问题。 注意：菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形. 因此，有关菱形的问题往往可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 分析：要直接证明MN与PQ互相垂直平分比较困难，联想到菱形的对角线互相垂直平分的性质，所以只要连结MP，PN，NQ，QM，再进一步证明四边形MPNQ是菱形即可. 证明： 如图，连结MP，PN，NQ，QM. ∵M，N，P，Q分别是AD，BC， BD，AC的中点 ∴MP∥AB，QN∥AB，PN∥CD， MQ∥CD，MP= AB，MQ= CD. ∴MP∥QN，PN∥MQ. ∴四边形MPNQ是平行四边形∵AB=CD ∴MP=MQ ∴四边形MPNQ是菱形 ∴MN与PQ互相垂直平分. 注意点：本题主要应用了三角形中位线性质，也可证明四边形PNQM的一组对边平行且相等，还可以直接根据中位线的性质证明四边形PNQM的四条边都相等. 探究提高　探索菱形成立的条件，有多种方法判定： ①若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来说明； ③若条件中涉及边，考虑用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”或“四条边都相等的四边形是菱形”来证明； 例3 动手操作：在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形，小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小芳同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE