数学建模-牧羊人的希望.doc

牧羊人的希望 一、摘要 结合题目的要求，本文主要针对最大经济效益问题来构建模型，有分析可得，该模型属于最优动态规划问题，通过有限的牧草资源来限制这片牧场所能牧养的羊群数量，从约束条件来求得目标函数的最优解。建立模型后，运用lingo9.0软件求解，得到最优解。 模型的出发点是假设该牧场的运营情况已步入正轨，饲养环境和其他因素都已经固定，达到了题目所能要求的最佳状态，每一阶段所饲养的羊的数量是一定分布的，每一年按照固定的比来来保留每一种羊。模型的思想就是从牧草的产量这一限制条件来求得羊群的数量，根据不同阶段母羊的繁殖情况和不同季节的食草情况，从而得到各种年龄的羊之间的数量关系。该模型是一个非线性规划最优解模型，将目标函数和一系列约束条件输入lingo9.0来求解，由于该牧场的面积未知，这里假设牧场的面积为500平方米，可以求得牧场的最大饲养量为 26只。 由于该牧场的面积未知，针对上述500平方米的假设，我们在之后又通过假设牧场面积为1000平方米以及5000平方米两个情况来得出相应的结果。并且通过反过来计算杨的食草量，来验证模型结论的合理性，通过验证发现夏季和秋季的草均有剩余，再次提出将剩余的草最大化利用，这是模型的创新之处。另外，在模型的基础上，又提出了改进的模型，给出了目标函数和约束条件的相应解析。 关键词：最优动态规划、食草量、最优解、羊群 问题的重述与分析 2.1问题重述 一个牧羊人拥有 x平方米的牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收益。他需要考虑以下问题： (a) 他应该饲养多少羊？ (b) 夏季应存储多少干草用着冬季饲料？ (c) 为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？ 你能建立一个数学模型来帮助他解决以上问题吗？你可以利用下面的资料。 下面是低洼地的某一类草（多年生黑麦草）的近似平均生长率： 冬季 春季 夏季 秋季 日生长率（克） 0 3 7 4 一般母羊的生育期是5～8年，每年产一头、两头或三头。如果每只母羊仅喂养5年就出售，下面一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数： 年龄（年） 0～1 1～2 2～3 3～4 4～5 生产的羊羔（头） 0 1.8 2.4 2.0 1.8 在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为： 日需草量（公斤） 羔羊 母羊 冬季 0 2.10 春季 1.00 2.40 夏季 1.65 1.15 秋季 0 1.35 2.2问题分析 根据题目已知条件和要求可以得出这是一个最优化问题，在所给数据的限制条件下来求得牧羊人的最大化利益。其中草的日生长量和不同阶段的母羊的繁殖率，以及羊的食草量为约束条件，在建立目标函数后，根据约束条件求得最优解，这个最优解就是牧羊人的最优决策和规划依据。 三、模型假设及符号说明 3.1模型假设： 养殖所需要的圈舍、配合饲料、水的供给、饲养费用等条件忽略不计； 每一只羊羔的食草量一样，每一只母羊的食草量一样； 不考虑生病等影响羊食草量的因素； 不考虑天气、羊践踏等影响草生长的因素，且牧场的草的生长情况都一样； 假设每天长出来的嫩草都能吃； 假设该牧场不会发生自然灾害和其他的人为破坏，不考虑羊群的死亡情况； 能繁殖的母羊均要与公羊交配，且不考虑在此期间公羊吃的草； 假设牧场的面积为500平方米，所有的地都是低洼地，1平方米大概有47棵草； 假设每一个季节为90天； 假设该牧民以最大环境容量饲养羊群，i到i+1阶段的羊留下的数量为xi+1； 假设母羊在春季产羊羔，秋季将公羊和母羊卖出； 假设每年养羊从春季开始，秋天卖出，母羊饲养五年以上均要卖出，公羊饲养一年卖出，母羊放羊，公羊圈养，母羊和公羊的食草量相同； 3.2符号说明： x1:去年保留下来的0-1岁的母羊的数量 x2:去年保留下来的1-2岁的母羊的数量 x3:去年保留下来的2-3岁的母羊的数量 x4:去年保留下来的3-4岁的母羊的数量 y:夏季储存下来的用于冬季羊群供应的草的重量(kg) r1:去年秋天保留下来的0-1岁的母羊今年被保留的比例 r2:去年秋天保留下来的1-2岁的母羊今年被保留的比例 r3:去年秋天保留下来的2-3岁的母羊今年被保留的比例 W:牧羊人的经济效益 四、模型的建立求解与分析 4.1模型的建立： 由已知条件和模型的假设来看，如果在第i年春天各个阶段的母羊的数量为：x1、x2、x3、x4，那么在秋天的时候母羊所产的羊羔的数量为 目标函数最大经济效益： 约束条件： 春天羊日食草量应小于草的日生产量，即： (2)夏季