公选课-数学建模论文-钢管下料问题.doc

钢管下料问题 摘要 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题. 针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解. 关键词 线性规划 最优解 钢管下料 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料？ 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 3、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 4、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a，为简化问题先不进行对a的计算. （2）四种不同的切割模式：、、、. （3）其对应的钢管数量分别为：、、、（非负整数）. 5、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用表示按照第种模式（=1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为，，，（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1.1+1.2+1.3+1.4）a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 +++≧15 (2) +++≧28 (3) +++≧21 (4) +++≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是： 1750≦290+315+350+455≦1850 （6） 1750≦290+315+350+455≦1850 （7） 1750≦290+315+350+455≦1850 （8） 1750≦290+315+350+455≦1850 （9） 由于排列顺序无关紧要因此有 ≧≧≧ (10) 又由于总根数不能少于 （15290+28315+21350+30455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于 （15290+28315+21350+30455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有 +++≦5 (13) 7、模型的求解 将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0 经计算绘制成表格如下： 切割模式 290mm 315mm 350mm 455mm 余料mm 0 2 2 1 65 3 0 0 2 70 0 1 3 1 30 0 0 0 4 30 即取切割模式14根及切割模式5根，即可得到最优解： Min=（1411/10+512/10）a =21.4a 6、结果分析、模型的评价与改进 下