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公选课-数学建模论文-钢管下料问题
钢管下料问题
摘要
生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.
针对钢管下料问题,我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导,然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0,对题目所提供的数据进行计算,从而得出最优解.
关键词 线性规划 最优解 钢管下料
1、问题的提出
某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割出售.从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ,现在一顾客需要15根290 mm,28根315 mm,21根350 mm和30根455 mm的钢管.为了简化生产过程,规定所使用的切割模式的种类不能超过4种,使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用,使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用,以此类推,且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原钢管最多生产5根产品),此外为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm,为了使总费用最小,应该如何下料?
2、问题的分析
首先确定合理的切割模式,其次对于不同的分别进行计算得到加工费用,通过不同的切割模式进行比较,按照一定的排列组合,得最优的切割模式组,进而使工加工的总费用最少.
3、基本假设
假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.
4、定义符号说明
(1)设每根钢管的价格为a,为简化问题先不进行对a的计算.
(2)四种不同的切割模式:、、、.
(3)其对应的钢管数量分别为:、、、(非负整数).
5、模型的建立
由于不同的模式不能超过四种,可以用表示按照第种模式(=1,2,3,4)切割的原料钢管的根数,显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm,315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为,,,(非负整数).
决策目标 切割钢管总费用最小,目标为:
Min=(1.1+1.2+1.3+1.4)a (1)
为简化问题先不带入a
约束条件 为满足客户需求应有
+++≧15 (2)
+++≧28 (3)
+++≧21 (4)
+++≧15 (5)
每一种切割模式必须可行、合理,所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是:
1750≦290+315+350+455≦1850 (6)
1750≦290+315+350+455≦1850 (7)
1750≦290+315+350+455≦1850 (8)
1750≦290+315+350+455≦1850 (9)
由于排列顺序无关紧要因此有
≧≧≧ (10)
又由于总根数不能少于
(15290+28315+21350+30455)/1850≧18.47 (11)
也不能大于
(15290+28315+21350+30455)/1750≦19.525 (12)
由于一根原钢管最多生产5根产品,所以有
+++≦5 (13)
7、模型的求解
将(1)~(13)构建的模型输入Lingo11.0
经计算绘制成表格如下:
切割模式 290mm 315mm 350mm 455mm 余料mm 0 2 2 1 65 3 0 0 2 70 0 1 3 1 30 0 0 0 4 30 即取切割模式14根及切割模式5根,即可得到最优解:
Min=(1411/10+512/10)a
=21.4a
6、结果分析、模型的评价与改进
下
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