段曹辉-傅里叶变换.pptx

MRI 基础 段曹辉 2017.6.14 傅里叶变换 一个时间函数（信号）的傅里叶变换变为频率的复值函数，是原始信号的频率域表示。绝对值代表频率的幅度，复角是该频率正弦基函数的相位偏移。 Sin函数 Sin函数相移θ 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换把N个复数序列x0,x1,...xN-1变换为另外N个复数序列X0,X1,...,XN-1 连续傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系。A.连续函数和其傅里叶变换。B.连续周期函数和其傅里叶变换。C离散非周期函数及其傅里叶变换。D离散周期函数和其傅里叶变换。 A B C D 离散傅里叶变换 A B C D 周期信号可以由傅里叶级数表示，也就是可以分解成直流分量和正弦、余弦分量，正弦、余弦分量是基频w=2π/T的整数倍, 2w,3w,...因此周期函数的频谱是离散的。 非周期信号是周期T趋于无穷大的周期信号，谱线之间的间隔2π/T趋于无穷小，离散频谱就变成连续频谱了，傅里叶级数也变成了傅里叶变换： 离散傅里叶变换 对连续信号抽样可以得到离散信号： 设连续信号为f(t)的傅里叶变换为F(w) 抽样脉冲序列p(t)的傅里叶变换为P(W) 抽样后的信号fs(t)的傅里叶变换为Fs(w) 采用均匀抽样（一般为冲击序列），抽样周期为Ts，抽样频率为 抽样过程通过抽样脉冲序列p(t)和f(t)相乘完成： fs(t) = f(t)*p(t) 由于p(t)是周期信号，因此p(t)的傅里叶变换可表示为 由频域卷积定理知： 因此信号在时域被抽样后，它的频谱Fs(w)是连续信号频谱以抽样频率ws为间隔周期的重复而得到，在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶洗漱Pn加权，但是Pn只是n的函数，所以F(w)在重复过程中不会使形状发生改变。 傅里叶变换的性质：时移 A.单位脉冲f(t )和它的傅里叶变换 F(ω)。B. A中信号f(t )在时间域平移后的信号g(t)以及其傅里叶变换。时间域的delay对应频率域的complex phase shifts。 A B 任意的实数x0, 如果h(x) = f (x − x0), 则 H(ξ) = e−2πix0ξ F(ξ). 二维离散傅里叶变换 傅里叶变换（空间域→频域） F = fft2(f); S = abs(F); imshow(S, []) 傅里叶变换后为4个背靠背的四分之一的周期 fftshift(F) 相角 使用函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心，但是因为谱的动态范围较大，可用对数变换压缩动态范围，增加细节 log(1 + abs(Fc)) 二维离散傅里叶变换的实部虚部可用real和imag得到，虚部和实部的atan2是相角。相角在可视分析中不常见，因为相角不直观，但是相角在信息量方面非常重要。 angle(F) 反傅里叶变换（频域→空间域） ifft2(F) ifft2(Fc) fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心的图像Fc 实部、虚部 虚部imag直接做反傅里叶变换 复数矩阵 ifft2 abs 实部real直接做反傅里叶变换 ifft2 一个实数矩阵，但是图像的位置信息已经丢失 实部、虚部 不采集k空间中间50行 采集k空间中间25行 采集k空间中间10行 采集k空间中间50行 不采集k空间中间25行 不采集k空间中间10行 K空间和图像域 原始的k空间数据和图像域图像，展示的都为幅度图像。 K空间 K空间位于空间频率，它是时间域内数据空间的一种数学处理方式。数据空间内坐标轴的单位是：毫秒和分钟，而K空间的单位是周期/米。 K空间 不能从数据空间傅里叶变换得到图像，但是经过数学变换转换到K空间后就可以在更加对称的空间处理数据。 在y方向上， 相位是频率对时间的积分： 总结： K空间是以数据空间为变量的数据处理过程，坐标轴为“空间频率”，空间频率kx，ky与距离呈反比关系。 扫描参数 直接参数 间接参数 参数的优化涉及到平衡，为了提高某个参数，我们可能不得不牺牲另外一个参数。 信噪比 NEX和Ny 两个独立同分布的高斯噪声相加 带宽 降低带宽会造成： 3D成像中的信噪比 空间分辨力 空间分辨力是能够区分的图像内两点之间的最小距离，取决于： 提高空间分辨率通常意味着降低信噪比： TR和TE 常规自旋回波 在CSE序列中，一个TR周期内都使用相同的相位编码梯度，采集的8个信号填充在不同K空间的相同位置。 快速自旋回波 一个TR得到的回波同时填充k空间的八行。 FSE中每个180°脉冲前设定不同的相位编码梯度，有效TE为102ms，与此回波对应的相位编码的梯度最小，相应的回波被填充在K空间的中心行。 回波链长 对有效TE回波前的180°脉冲，使用最小的相位编码梯度，而其他的相位编码梯度具有越来越大的