求导积分与微分方程数值解(第1次课).ppt

第三讲 极限、导数、积分(补充) 内容：本讲针对一元微积分学补充极限、导数、 积分相关运算；介绍Funtool符号计算器 目的：学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实 现，为学习微分方程数值解作准备 要求：能够解决高等数学中的极限/导数/积分求解 问题；了解并会使用Funtool符号计算器 掌握极限(左、右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导、高阶导、偏导) 函数 diff 掌握积分(不定积分、定积分、数值积分) 函数 int trapz quad quadl quad8 求极限、求导数与求积分... 极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又是工程计算和科学研究直接面对的问题. 微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用导数公式和求导法则算出它们的导数. 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数“积不出来”,由于它们的原函数无法由基本初等函数经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我们也只能采用数值方法. 借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题! 求极限运算的调用格式 基本调用格式： limit(f) 功能:计算 limit(f,x,a) 功能:计算 limit(f,x,inf) 功能:计算 limit(f,x,a,right) 功能:计算 limit(f,x,a,left) 功能:计算 求极限运算的应用示例 应用示例（熟悉应用类型）： 例1 求极限 syms x; y=((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/x^3); limit(y) 例2 求极限 syms n; y=(1+1/n)^n; limit(y,n,inf) 例3 求极限 syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x))); limit(y,x,3,left) 求导数运算的调用格式 求导数运算的调用格式 [2] 多项式拟合求导（表达式未知或不易求导） 方法说明： 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数，然后利用多项式函数求导命令polyder求导或diff求导 应用示例： 例5 用5阶多项式拟合函数 并求x=2处的二阶导函数值 x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.^2+exp(x.^2)); p=polyfit(x,y,5), y2=polyval(p,x); plot(x,y,b,x,y2,r); legend(y,y2,2); %产生数据点，拟合成5阶多项式函数，并作图比较 p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导，并代值 y2=poly2sym(p,x), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导，并代值 求导数运算的调用格式 [3] 参数方程求导 方法说明： 对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出dy/dt和dx/dt 然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可 应用示例： 例6 求参数方程 syms t; x=t*(1-sin(t)); y=t*cos(t); ezplot(x,y); grid on; dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx) %下面在t=4.1处作出参数方程的切线（导数） hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,ro); k=eval(dydx); line([x,x+1],[y,y+k],color,r) 求导数运算的调用格式 [4] 多元函数求导 方法说明： 对指定变量求导，求偏导数 应用示例： 例7 求 对z 的偏导数 syms a b x y z; u=a*exp(b*x+y+z^2);pretty(diff(u,z)) 例8 对 syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y);diff(z,x,3) 求导数运算的应用示例 例9 以 为例验证罗必塔法则： syms a b x f=a^x-b^x; g=x; l1=limit(f/g,x