江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书文.doc

高考专题突破四 高考中的立体几何问题 1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为________. 答案　平行 解析　如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE， 则EF∥A1B1，DF∥B1B， ∴平面EFD∥平面A1B1BA， ∴DE∥平面A1B1BA. 2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： ①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面. 其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是________. 答案　②③ 解析　由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题. 3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为________. 答案　66 解析　如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66. 4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝________. 答案　2 解析　连结AC交BD于点O，连结EO，取VE的中点M，连结AM，MF，∵VC＝3EC，∴VM＝ME＝EC，又AO＝CO，∴AM∥EO，又EO?平面BDE，∴AM∥平面BDE，又AF∥平面BDE，AM∩AF＝A，∴平面AMF∥平面BDE，又MF?平面AMF，∴MF∥平面BDE，又MF?平面VBC，平面VBC∩平面BDE＝BE，∴MF∥BE，∴VF＝FB，∴＝2. 5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则直线PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________.(填“平行”或“垂直”) 答案　平行　垂直 解析　①因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DE∥PA. 又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF. ②因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8， 所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 题型一　求空间几何体的表面积与体积 例1　(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)证明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′-ABCFE的体积. (1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. (2)解　由EF∥AC得＝＝. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4， 所以OH＝1，D′H＝DH＝3， 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′， 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝. 五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝. 所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝××2＝. 思维升华　(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 　正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求： (1)这个正三棱锥的表面积； (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积. 解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝， 则正棱锥侧面的斜高为＝. ∴S侧＝3××2×＝9. ∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2 ＝9＋6. (2)设正三棱锥