浅谈中学几种常用证明不等式的方法.doc

江西科技师范大学 毕业论文 题 目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 吴丹 学 号： 指导教师： 樊陈 2013年3月20日 目录 1引言 1 2放缩法证明不等式 1 2.1放缩法 1 2.2（改变分子分母）放缩法 1 2.3拆补放缩法 2 2.4编组放缩法 3 2.5寻找“中介量”放缩法 4 3反正法证明不等式 4 3.1反证法定义 4 3.2反证法步骤 5 4．换元法证明不等式 6 4.1利用对称性换元，化繁为简 6 4.2三角换元法 7 4.3和差换元法 8 4.4分式换元法 8 5． 综合法证明不等式 9 5.1综合法证明不等式的依据 9 5.2用综合法证明不等式的应用 9 5.3综合法与比较法的内在联系 10 6.分析法 10 6.1分析法的定义 10 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 11 6.3分析法证明不等式的应用 11 7．构造法证明不等式 13 7.1构造函数模型 13 7.2构造数列模型 14 8．数学归纳法证明不等式 15 8.1分析综合法 15 8.2放缩法 16 8.3递推法 16 9.判别式法证明不等式 17 10.导数法证明不等式 18 10.1利用函数的单调性证明不等式 18 9.2利用极值（或最值） 19 11比较法证明不等式 20 11.1差值比较法 20 11.2商值比较法 21 11.3比较法的应用范围 21 12结束语： 22 参考文献 22 浅谈中学常用几种证明不等式的方法 摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。因而 他是中学数学考试的难点。不等式的证明的方法很多。本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、 反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。 关键词：不等式 证明方法 1引言 不等式，渗透在中学数学各个分支中。而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位。不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题。本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力。 2放缩法证明不等式 2.1放缩法 放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可中的某些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。形式：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 再利用传递性，达到欲证的目的。 证明： = = 2.3拆补放缩法 在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。 例2：求证： 证明： 2.4编组放缩法 证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用基本不等式完成证明。 例3：求证:. 证明：左 2.5寻找“中介量”放缩法 当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。 例4：求证： 证明： 小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。 3反正法证明不等式 3.1反证法定义 “证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法． 3.2反证法步骤 假设命题的结论不成立； 从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾； 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论． 例5：已知：都是小于1的正