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浅谈微分方程的起源与发展史 摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。 引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。 关键字：微分方程 起源 发展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。 1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。 例1 传染病模型 传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总人数不变，为常数，最开始的染病人数为，在时的健康人数为，染病人数为。 因为 总人数为常数 所以可得到式子 ① 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，且比例常数为，称为传染系数，于是即可得到式子 ② 由①和②可得 ③ 这个模型就是SI模型，即易感染者模型和已感染者模型。 对于无免疫的传染性疾病如痢疾、伤风等等，病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。所以我们可以假设单位时间内的治愈率为，那么方程②就应该修改为 ④ 由①和④可得 ， ⑤ 这个模型称为SIS模型，就是这个传染病的平均传染期，为整个传染期内每个病人有下接触的平均人数（平均接触数）。 对于很强免疫性的传染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不会有再被传染的机会。我们就可以假设在时刻的治愈后的免疫人数为，称为移出者，且治愈率为常数， 所以可得 ⑥ ⑦ ⑧ 根据⑥、⑦和⑧可得 ⑨ 这个模型称为SIR模型， 综上所述三个类型的传染病模型③、⑤和⑨均为微分方程 微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、几何、化学等的实际问题所受到的启发。 微分方程的推导 1.1术语和记号? 当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用替代，用替代，更高阶的导数可以记为、①等。当然其他字母，如,,等等都可以用来代替.微分方程的阶，意思 是出现在其中的导数的最高阶数。例如，是一阶，微分方程就是一个二阶方程。 1.2 微分方程的推导 三、微分方程有哪些类型