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浅谈求导的方法 12级专接本 杜金凤 [摘要] 导数作为一种研究数学知识的工具，在求单调性、最值、切线等方面发挥了独特的作用，并且在高等数学中占据着重要的地位。本文对求导方法进行了简单的归纳与总结。 [关键字] 导数 高等数学 方法 一引言 导数是初等数学于高等数学的衔接点，是高考的热点，同样在高等数学中，求导问题也是一个非常重要的内容。它是数学学习中必不可收的基础，是对函数形状研究的重要工具。因此，本文对求导方法进行了归纳，然后通过一些实例具体的介绍求导的方法。 二导数的定义 1.1 导数的定义 定义 1 设函数在点及其附近有定义。考虑在点附近（除点以外）有定义的新的函数 如果当时，有极限，则说在点是可导的，或者说在点是有导数的。而这个极限值，便称为在点的导数，记为，即 = 如果引入记号 ，， 分别称之为自变量和函数的改变量，则有 定义 2 （i）设函数在一个一点为右端点的闭区间上有定义。若极限 存在，则称函数在点左可导，并称这个极限值为在点的左导数，记为。 （ii）设函数在一个一点为左端点的闭区间上有定义。若极限 存在，则称函数在点右可导，并称这个极限值为在点的右导数，记为。 由左右极限与极限的关系易得，在点可导的充分必要条件是，它在既左可导 又右可导，而且左右导数相等。此时 定义 3 设是使可导的点组成的数集。因此，对于每一个，在点都有导数。在上定义一个新的函数，使它在属于的每一点处的函数值就是。这个函数称为的导函数，记为。易见。 在大多数情况下，人们都把导函数简称为导数。 三求导的方法 1 显函数的求导法 2.1导数的四则运算 (1) 若函数和在点可导，则函数在点也可导 . (2) 若函数和在点可导，则函数在点也可导，且 (3) 若函数和在点可导，且，则在点也可导，且 例1设，求. 解： =. 例2 求.，求. 解： .. 例3 ，求。 解 例4 设，求 解 2.2 复合函数求导法与反函数求导法则 设在点可导，在点，则复合函数在点可导 (1) 一般的复合函数求导法 例设，求 解：将看做和的复合函数，故 注 必须指出： (2) 反函数求导法则 设函数在x处有不等于零的导数，且反函数在相应点处连续，则存在，且 即反函数的导数等于直接函数倒数的导数的倒数。 例1 设，求 解 的反函数为 而 所以 即 例2 设，求。 解 的反函数 ， 而，则 即 2.3 基本初等函数求导公式 (1)（c为常数） (2)（为任意常数） (3) (4)， ， (5)， (6)， (7) 2隐函数求导法 由方程所确定的y于x的函数关系称为隐函数。 把隐函数化为显函数，称为隐函数的显化。例如从方程中。但有时隐函数的显化有困难，甚至有时变量不一定能用x直接表示。例如。所以不管一函数能否显化，我们希望有一种的方法直接有方程求出它所确定的应函数的导数。 要求方程所确定的隐函数y（x）的导数，只要将视为的函数,利用复合函数的求导法则，对方程两边关于求导，得到一个关于，解出就可以了。 例1 由方程确定是的函数，求。 解 将方程两边对求导，得 ， 解出，得 例2 由方程确定的y是x的函数，求 解 将方程两边对求导， 解出，得 ， 令x=0.由知，故 . 例3 由方程确定的是的函数，求其曲线上点（-2,2）处的切线方程。 解 将方程两边对求导，得 解出，得 ， 由，于是点（-2,2）处的切线方程是 即 . 3 由参数方程所确定的函数求导法 参数方程，（存在反函数），则为的复合函数，，所以： 例1已知星型线的参数方程为 ，求。 解 因为， ， 所以 。 例2 求曲线，在对应t=e处的切线方程和法线方程。 解 由 所以切线斜率 ， 法线斜率 当时故切线方程为 ，即 ，即 例3 求由摆线的参数方程 t为参数所确定的函数导数。 解 因为 所以 4对数求导法（利用复合函数求导法则） 对于一些特殊类型的函数，它既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数，我们利用对数求导法则来求 例1 求的导数。 解 方法1 将方程两边同时取对数 两边对求导数得 ， 所以 方法2 例2 设为实数，求幂函数的导数. 解： 因为可以看作与的复合函数，故 例3 设，求 解 如直接利用复合函数求导法公式求这个函数的导数，将会很复杂，为此先将方程两边取对数，得