混料试验设计.doc

混料试验设计 The Design of Mixture Experiments 主要参考文献： 栾军. 现代试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，1995 茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社, 1981 混料问题与混料试验 (栾军, 1995；茆诗松 等, 1981) 日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一类的问题，即所谓混料问题。这里所说的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的物品。由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可看着混料问题。 混料试验就是通过实物试验或非实物试验，考察各种混料成分与试验指标之间的关系。例如，人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行的试验就是混料试验。应该指出，混料试验中的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的不变成分不应作为混料成分。 混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验设计。混料试验设计的试验指标只与每种成分的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化，各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受到一定条件的约束。 设：y为试验指标，x是第i种成分的含量，则混料问题的约束条件，即混料条件为： （1） 其中xi称为混料成分或混料分量，即混料试验中的试验因素。 混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。 混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。混料试验设计常采用Scheffé 多项式回归模型。例如，一般的三元二次回归方程为 (2) 而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为 (3) 比较式（2）和式（3）可知，Scheffé多项式没有常数项和平方项。[这是因为，将约束条件代入式（2），即可推导得到式（3）。] 通常，混料试验设计的p分量d次多项式回归方程，其Scheffé多项式（或称为规范多项式）为 一次式（d=1）： (4) 二次式（d=2）： (5) 三次式（d=3）： (6) 式中为三次项的回归系数。 由此看来，混料试验设计的 (p, d) Scheffé 多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p因素d次多项式回归方程要少。例如，对于混料试验设计（p, d）的回归方程式（5），无常数项和二次项。于是，减少了 p+1 个回归系数，所以至少可以少做 p+1 次试验。 混料试验设计由 H. Scheffé 于1958年首先提出，至今已有40多年。由于这种试验设计方法与工农业生产及科学试验有密切的关系，所以无论在理论研究中，还是实际应用中都有了很大的发展。在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配方和生产制造都广泛地应用混料试验设计方法。 二、单（纯）形格子设计 （茆诗松等，1981；栾军，1995） 1. 引言 （1）单（纯）形 在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheffé 于1958年提出的。它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。 在混料问题中，各分量 xi (i=1, 2, … , p) 的变化范围受混料条件式（1）的制约。在几何上，称为p维平面，而（x1, x2, …, xp）为p维平面上点的坐标。在p维平面上满足 的区域构成一个图形称为单形（或单纯形）。单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标 xi=1 , 而其余的 p-1 个坐标 xj=0 (j(i), 则这种点称为单形的顶点。因此，在p因子混料试验中，单形的顶点有p个。 例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。所以单型的图形为一等边三角形，如图1（a）所示。 （2）单形上点的坐标 下面，以p=3为例讨论单形上点的坐标问题。 对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为 A（1，0，0）、B（0，1，0）和C（0，0，1）。 设P（x1、x2、x3）为这单形的内点，定义x1表示P点到边BC的距离，x2为P点到边AC的距离，x3为P点到边AB的距离。为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形，如图1（b）所示。 (a)