点集拓扑学第5章.ppt

作业:2,6 §5.2 可分空间 定义5.2.1 设X是一个拓扑空间， ．如果 ，则称D是X的一个稠密子集． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集.又设 都是连续映射,如果 , 则f = g. f(x) g(x) x ( ) ) ( V1 V2 f g f -1(V1) g -1(V2) U X 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二 可数性公理的空间都是可分空间. 继续 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分的. 定理5.3.2逆不成立 可分性出不具有可遗传性 (见例5.2.1) 继续 定理5.2.4 每一个可分的度 量空间都满足第二可数性公理. 推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间. 作业：4 §5.3 Lindel?ff 空间 定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合．如果 , 则称集族是集合B的一个覆盖，并且当A是可数族或有限族时，分别称集族是集合B的—个可数覆盖或有限覆盖． 设集族 A 是集合B的一个覆盖．如果集族 A 的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族 A1 是覆盖A (关于集合B)的一个子覆盖. * * * * * * 第一与第二可数性公理 可分空间 Lindel?ff空间 §5.1 第一与第二可数性公理 可 数 基 可数邻域基 拓扑空间在某一点处的一个邻域基是一个可数族，则称它是可数邻域基. 拓扑空间的一个基, 如果是一个可数族,则称这个基是一个可数基. 定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为A2空间． 定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为A1空间． 不满足第一可数性公理的空间的例子 设X是包含着不可数多个点的可数补空间,则X在它的任何一点处都没有可数邻域基． 定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．反之不成立. 定理5.1.4 设 X 和Y是两个拓扑空间， 是一个满的连续开映射.如果X满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则Y也满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)． 继续 可遗传性质 如果一个拓扑空间具有这个 性质那么它的任何一个子空间也 都具有这个性质 对开[闭]子空间可遗传性质 例: 局部连通空间的任何一个开集作为子空间都是一个局部连通空间 证明：设X是一个局部连通空间，U是X的一个开集，则对任意x∈U和x在子空间U中的任意一个邻域V，V也是x在X中的一个邻域, 由于X是一个局部连通空间， 从而 x有一个连通的邻域W, 使得 , 从而U是一个局部连通空间. 定理5.1.5 满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间． 推论5.1.7 n维欧氏空间 Rn的每一个子空间都满足第二可数性公理． * * *