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点面距离的求解 一、点面距离的地位： 点面距离问题是整个立体几何这一章的重点，它不仅是线面角、二面角（三垂线法）求解的关键；而且是线面、面面及异面直线间距离转化的最后目的地。是高考的热点，每年都有所考 查。 *《点面距离》 二、点面距的定义： 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离. 1、 直接法:作出垂线，直接求解； 2、间接法：平行线法、比例法；3、等体积法 三、点面距的求法： 四、求法的具体讲解： （1）作出垂线，直接求解 “垂线如何作，垂足又落在哪里？”是此法的关键，其解决方案主要有下： 1、依据面面垂直的性质及判定 常规遵循一作二证三计算的步骤； ①法一：依据判定找过已知点且与已知平面垂直的平面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在交线上 M C P A B 例1：如图：在四面体P-ABC中， PC⊥平面ABC， AB=BC=CA=PC=a，求B到面PAC的距离。 分析：由PC⊥平面ABC，PC 面PAC可得，面ABC⊥面PAC，又面ABC过点B，面ABC∩面PAC=AC，所以过B作BM⊥AC于M，即可得BM⊥面PAC。而三角形ABC为等边三角形故 3 2 BM = 例2 在棱长为1的正方体 中，E、F分别为棱 、 的中点，G 为棱 上的一点， 且 求点G到面 的距离。 M D B C E F A · G 分析：由条件可知点G在线段 移动，而 ∥面 ，所以其上任意点到面 的距离都等于G到面 的距离，这样我们就可直接将G点换为点 ，而由EF⊥平面 知，过 的平面 ⊥面 且面 ∩面 = ，故仅需过 作 ⊥ 于M，即得 ⊥面 ，后在 △ 中进行计算即可。 5. 如图所示，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA ⊥平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. 延伸·拓展 【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化，有时能取得意想不到的效果 ②法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面内找一条线；后再作与此线垂直且过已知点的垂面（如何作见下）；再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直于已知平面，且垂足落在交线上。 ◆借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。 例3如图，在正三棱柱 中， AB=2， =4， 则点C到平面 的距离为？ H O C A B ◆利用等腰三角形或全等三角形。 例4如图，三棱锥P-ABC 中，PA=PB=CA=CB=6，AB=PC=4，求C面PAB 的距离。 O H P A B C 分析：等腰△PAB与等腰△CAB公用底边AB，故仅需取AB的中点O，连结PO、CO，即可得到AB⊥面POC，又面PAB，∴面PAB⊥面POC，过C作CH⊥PO于H，则CH⊥面PAB，后在等腰△POC中计算出CH即可。 例5如图，正三棱锥P-ABC 中，侧棱长为6，底面边长为4，求C面PAB 的距离。 E O P A B C 分析：△PAB全等于△PAC，过C作CE⊥PA于E，连BE则BE⊥PA，所以PA⊥面BCE，又面PAB故面BCE⊥面PAB，过C作CO⊥BE于O，则CO⊥面PAB， 2、依据其他。 如依据射影长定理及外心的定义。 H O C B A 例6 如图，已知，在△ABC中∠ABC= ，AB=6，BC=8，O到△ABC各顶点的距离都等于10，求点O到这个三角形所在平面的距离。 解：设H为点O在平面ABC内的射影，连接OH、AH、BH、CH， 在△ABC中∠ABC= ，AB=6，BC=8 ∴AC=10 ∵OA=OB=OC ∴HA=HB=HC即H为△ABC的外心， ∴H 为AC中点，AH=BH=CH=5 △OAH中∠AHO= ，OA=10，AH=5∴OH= 即点O到平面ABC的距离为。 3. △ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一