现代数学与中学数学1《微积分——从黎曼到勒贝格》.ppt

现代数学与中学数学 陈惠勇 hychen@amss.ac.cn 江西师范大学数学与信息科学学院 第一讲 微积分的基本思想 ——从黎曼到勒贝格 微积分基本定理 若f(x)在[a,b]上连续，则 若F `(x) 在[a,b]上连续，则 导数（切线斜率） xi-1 xi 定积分（面积） 微积分发展的三个阶段 创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 微积分继续发展的三个方向 外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 复数域上的微积分（复变函数） 微积分的深化和拓展（实变函数） 1.Riemann积分回顾 (1) Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi 其中 (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中： xi-1 xi xi-1 xi (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中： xi-1 xi (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积 xi-1 xi 例：Dirichlet函数不Riemann可积。 注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。 上积分 下积分 0 1 （3)Riemann积分的局限性 a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 Riemann 连续,则 注：推荐大家看看龚昇写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积； b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）  例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数列 故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 运算与积分运算不一定可交换次序，即： 不一定成立。 则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但 不Riemann可积。 Riemann积分 xi-1 xi 为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手； (积分与分割、介点集的取法无关) 2.Lebesgue积分思想简介 1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1） yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” Lebesgue积分思想 yi yi-1 f(x)在 Ei上的振幅不会大于δ 其中 mEi 表示 Ei 的“长度”， 即： 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说： 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想； 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想 即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划 （每一块不一定是区间）， 使得在每一块上的振幅都很小， 即按函数值的大小对定义域的点加以归类 yi yi-1 0 1 3.Lebesgue积分构思产生的问题 (1) 集合Ei 的“长度”如何定义（测度论）； (2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（可测函数）； (3)定义Lebesgue积分并研究其性质（积分论）； yi yi-1 4.集合论中的一些例子 (1) Achilles追龟  问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。 0(甲)