现代控制理论第2章L.doc

第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n个状态变量，，…，是向量的各个分量，即 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n维向量空间。在特定的时间，状态向量在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量在状态空间中随时间t变化的轨迹。 连续时间系统：的定义域为某时间域内一切实数。 离散时间系统：的自变量时间t只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u——输入向量； k——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 （2–1） 式中 A(t)——系统矩阵或状态矩阵，nn矩阵； B(t)——控制矩阵或输入矩阵，np矩阵； C(t)——观测矩阵或输出矩阵，qn矩阵； D(t)——输入输出矩阵，qp矩阵； x——状态向量，n维； u——控制作用，p维； y——系统输出，q维。 2）离散时间系统 （2–2） 式中 Gd(k)——系统矩阵或状态矩阵，nn矩阵； Hd(k)——控制矩阵或输入矩阵，np矩阵； C(k)——观测矩阵或输出矩阵，qn矩阵； D(k)——输入输出矩阵，qp矩阵； x——状态向量，n维； u——控制作用，p维； y——系统输出，q维； k——采样时刻。 线性连续时间系统的动态结构图如图2–1所示。 图2–1 线性连续时间系统的动态结构图 若矩阵A、B、C、D各元素都是常数，则称为线性定常系统，若是时间的函数则称为线性时变系统。 2.2 状态空间表达式的建立 2.2.1 直接根据系统机理建立 针对具体对象，应用相应的物理机理与物理定律，列写对象满足的物理方程。选取状态变量与输出变量，将物理方程转化为状态空间表达式的标准形式，如式（2–1）或式（2–2）所示。 若以电容端电压为输出，试求图2–2所示电路的状态空间表达式，其中L为电感，C为电容，R为电阻，为电感电流，为输入电压。 图2–2 RLC电路 解 根据电路定律，列写图2–2对应的动态方程为 （2–3） 对于该系统，若已知i(t)与的初始条件及其在后的输入，则可确定该电路任何时刻的行为，并称i(t)与为该系统的状态，而每一个变量被称为该电路的状态变量。另一方面，状态变量应是完整的、最小的。完整是指系统所有的运动情况都能被表达出来，最小则指变量个数最少。具体地，若再加一个变量时对完整确定电路运动状态没有必要，但若去掉一个变量时又不足以完整确定系统的全部运动情况。 由式（2–3）可得图2–2电路的状态方程为 将电容电压作为输出量时，状态空间表达式为 式中 ； ； ； 。 对该电路系统而言，其某一时刻的状态可用状态空间中一点表示，状态轨迹则表征了系统运动的行为，如图2–3所示。 图2–3 状态空间及其轨迹 此外，该系统为单输入/单输出系统，称为单变量系统，若是多输入/多输出系统，则称为多变量系统。 状态变量的选取应视所研究问题的性质而定，从便于监测、控制的角度，尽量选能测量的物理量为状态变量，无特殊要求时，一个物理系统常选取独立储能元件的特征量为状态变量。但是，状态变量选取并非惟一，所选状态变量不同时将导致不同的状态空间表达式，但两者之间存在一种线性变换关系。例如，对上例若取，，则状态空间表达式中各系数矩阵分别为 ，， 显然，两者的状态变量选取不同，导致系统方程也各异，但是系统状态变量的数目是惟一的，它等于系统微分方程的阶数（延迟元件除外）。 2.2.2 由微分方程求状态空间表达式 1. 微分方程中不含有输入信号导数项 当微分方程中不包含输入信号导数项时，系统具有如下一般形式： 取系统状态变量，，(((，，则可推导得到如下关系： 相应的状态空间表达式为 2. 微分方程中含有输入信号的导数项 以三阶系统为例