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第四步,若r=0,则m,n的最大公 约数等于m;否则，返回第二步 1：用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果． 分析：将80作为大数，36作为小数，执行辗转相除法和更相减损术的步骤即可． 解：用辗转相除法： 80＝36×2＋8， 36＝8×4＋4， 8＝4×2＋0. 故80和36的最大公约数是4. 4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？ 5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.，以等数约之． 《数书九章》——秦九韶算法 设 是一个n 次的多项式 对该多项式按下面的方式进行改写： 这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？ 要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即 最后的一项是什么？ 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。 秦九韶算法的特点： 例： 已知一个五次多项式为 用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解： 将多项式变形： 按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值： 所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1:对于多项式f(x)=2x5+x4+x3+x2+x+1，求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？ 4+3+2+1=10次乘法运算， 5次加法运算. 思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算((((2x+1)x+1)x+1)x+1)x+1的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，再将这些数与x和1相加，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？ 5次乘法运算，5次加法运算. 思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0. 知识探究(二):秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ 第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值v. 思考2:该算法的程序框图如何表示？ 开始 输入n，an，x的值 v=an v=vx+ai 输入ai i≥0？ i=n-1 i=i-1 结束 是 输出v 否 思考3:该程序框图对应的程序如何表述？ 开始 输入n，an，x的值 v=an v=vx+ai 输入ai i≥0？ i=n-1 i=i-1 结束 是 输出v 否 INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i=0 INPUT “ai=”；b v=v*x+b i=i-1 WEND PRINT y END 小结作业 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法. 思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？ 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。 算法分析： 观察上述秦九韵算法中的n个一次式，可见vk的计算要用到vk-1的值。若令v0=an,我们可以得到下面的公式： 1、求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 25 （1） 5 5 3