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第一节 基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 一阶线性微分方程 Review Review 线性微分方程的解的结构 n阶常系数齐次线性方程 *常系数非齐次线性微分方程 解 特征方程为 故所求通解为 例3 例4 解 特征方程为 解得 故所求通解为 解 特征方程为 故通解为 例5 P205 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 f(x)常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 则 综上讨论 设特解为 其中 代入原方程,或利用下式 来确定Q(x). 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例1 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入 原方程通解为 例2 得 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入 得 例3 * 第九章 电子科技大学应用数学学院 2014.02 解 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 若未知函数是一元函数，称常微分方程，否则称偏微分方程. 本章只讨论前者. 方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微分方程的阶 . 一阶微分方程 高阶(n阶)微分方程 使方程成立的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 为微分方程的通解. 两边积分, 为可分离变量的方程. 称 则 解 例1 解 例2 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 一、线性方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 使用分离变量法 2. 线性非齐次方程 常数变易法 把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 所以一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程的通解 非齐次方程特解 解 例1 解法2 例1 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 1. 线性齐次方程 常数变易法 2. 线性非齐次方程 (3) 先讨论二阶齐次线性方程 也是(3)的解. 定理1 (4) 进一步， 则(4)就是 (3)的通解. 1. 齐次线性方程解的结构 (2) 推论(齐次线性方程的叠加原理) 的n个线性无关的解, 则它们的任意线性组合 即为方程(2)的通解. 2. 非齐次线性方程解的结构 回顾： 一阶线性微分方程 对应齐次方程的通解 非齐次方程特解 2. 非齐次线性方程解的结构 定理2 (5) 的一个特解, (3) 的通解, 那么(5)的通解为 (1) 为二阶常系数齐次线性微分方程, 常系数齐次线性微分方程 于是方程通解为 其中a,b,c是常数. 称 (1) (2) 代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程,它的根称为特征根. (3) 小结 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 解 特征方程为 故所求通解为 例1 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 * * *